杆单元的非线性有限元法

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1、第五章第五章杆单元的几何非线性有限元法杆单元的几何非线性有限元法一、总述一、总述（一）（一）网格结构非线性分析的特征和产生的根源网格结构非线性分析的特征和产生的根源1.1.任何结构体系的受力形态都是非线性的,数学上体现任何结构体系的受力形态都是非线性的,数学上体现在荷载和变形的关系是非线性的，即在荷载和变形的关系是非线性的，即KUU=P()2.2.非线性产生的根源：非线性产生的根源：（1）几何非线性－位移和应变关系非线性（1）几何非线性－位移和应变关系非线性（大位移）（大位移）（2）材料非线性－应力和应变关系非线性（2）材料非线性－应力和应变关系非线性（例如塑性变形）（例如

2、塑性变形）一、总述一、总述（二）（二）网格结构非线性分析的目的网格结构非线性分析的目的1.1.稳定性分析稳定性分析————至少考虑几何非线性。至少考虑几何非线性。2.2.结构的极限承载能力估计结构的极限承载能力估计————几何非线性和材料非线性可能需要同时几何非线性和材料非线性可能需要同时考虑考虑二、几何非线性杆单元分析的基本假定二、几何非线性杆单元分析的基本假定1.1.1.节点为铰接，杆件只受轴力；节点为铰接，杆件只受轴力；节点为铰接，杆件只受轴力；2.2.2.材料符合虎克定律，按弹性方法分析；材料符合虎克定律，按弹性方法分析；材料符合虎克定律，按弹性方法分析；3.3.3

3、.网架只作用有节点荷载网架只作用有节点荷载网架只作用有节点荷载。。不再引入小挠度假定！！！不再引入小挠度假定！！！三、杆单元的非线性刚度矩阵三、杆单元的非线性刚度矩阵1.1.1.几何关系几何关系几何关系定义时刻定义时刻tt索单元两端节点索单元两端节点ii、、jj的坐标向量为的坐标向量为TX={xyzxyz}eiiijjj变形后索单元两端节点位移向量TU={}uvwuvweiiijjj变形前和变形后索单元的长度为222L=−+−+−()xx()yy()zzjijiji222L'(=+xuxu−−++)(yv−y−++−vzw)(z−w)jjiijjiijjii应变为LLL''

4、−ε==−1LL三、杆单元的非线性刚度矩阵三、杆单元的非线性刚度矩阵1.1.几何关系几何关系LLL''−ε==−1LLε=++−≈+12ab1ab/2()xxuuyyvvzzww−()−+−()()−+−()()−jijijijijijia=2L()uuuuvvvvwwww−()−+−()()−+−()()−jijijijijijib=2L1(xj−xi)(yj−yi)(zj−zi)ε==+BUBBU()l=m=Ln=非非eLNLeLL2(vj−vi)(wj−wi)线线(uj−ui)β=γ=1α=LL性性B=−−−{,,,,,}lmnlmnLLLddε==+BU()BBdU

5、关关eLNLe1B=−−−{,,,,,}αβγαβγ系系NLδεδ==+BU()BBδULeLNLe三、杆单元的非线性刚度矩阵三、杆单元的非线性刚度矩阵2.2.物理关系物理关系σ=Eεσ+dEσ=dε0dEσ==dEεBUdE=+()BBdUeLNLe3.3.平衡关系－虚位移原理平衡关系－虚位移原理TTAdδεσs−δUP=0AdBPσs−=0∫L'ee∫L'edd()dTTε=BUBBU=+eLNLeAdBBPσσds+Addsd−=0∫∫0eLL⎡100100−⎤⎢⎥010010−⎢⎥1⎢001001−⎥ddB=()BBL+==NLdBAUNLdeA=2⎢⎥L⎢−100

6、100⎥⎢010010−⎥⎢⎥⎢⎣⎦001001−⎥三、杆单元的非线性刚度矩阵三、杆单元的非线性刚度矩阵4.4.切线刚度矩阵切线刚度矩阵TTAdBBPσσdsA+ddsd−=0∫∫0eLLTT[(AdABσs++AB)E(B+B)ds]ddU−P=0∫∫0LNLLNLeeLLKUdd=PTeeTg0dKKKK=++eeeedTTKB＝A()EEEB++BBBBdse∫LNLNLLNLNLL21⎡⎤l⎡⎤⎢⎥2⎢⎥mlm对01对⎢⎥⎢⎥EA⎢⎥nlnmn2称⎢⎥0gTAσ0001称KBeL==AEd∫LBLs⎢⎥22KAe==Ad∫σ0s⎢⎥L⎢⎥－ll−−mlnlLL⎢−1

7、001⎥⎢⎥−−ml－m22mnmlm⎢−⎥01001⎢⎥22⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−nlnm－nnlnmn⎢⎣001001−⎥⎦三、杆单元的非线性刚度矩阵三、杆单元的非线性刚度矩阵4.4.切线刚度矩阵切线刚度矩阵Tg0dKKKK=++eeeeT.L.T.L.KUPdd=TeeTg0KKKeee=+U.L.U.L.由于几何非线性的影响，结构的刚度矩阵并不是常定的，随着结构变形而改变，因此切线刚度矩阵是对悬索结构某一特定状态下结构刚度的描述。从以上U.L.描述的切线刚度矩0g阵表达式来看，其由线弹性刚度矩阵Ke,几何刚度矩阵