置信度置信区间计算方法

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1、区间估计引例已知X~N(,1),不同样本算得的的估计值不同，因此除了给出的点估计外,还希望根据所给的样本确定一个随机区间,使其包含参数真值的概率达到指定的要求.的无偏、有效点估计为随机变量常数§7.3ch7368如引例中，要找一个区间,使其包含的真值的概率为0.95.(设n=5)取查表得ch7369这说明即称随机区间为未知参数的置信度为0.95的置信区间.ch7370反复抽取容量为5的样本,都可得一个区间,此区间不一定包含未知参数的真值,而包含真值的区间占95%.置信区间的意义若测得一组样本值,它可能包含也可能不包含的真值,反复则得一区间(1.

2、86–0.877,1.86+0.877)抽样得到的区间中有95%包含的真值.算得ch7371当置信区间为时区间的长度为——达到最短ch7372取=0.05ch7373设为待估参数,是一给定的数,(0<<1).若能找到统计量,使则称为的置信水平为1-的置信区间或区间估计.置信下限置信上限置信区间的定义定义ch7374反映了估计的可靠度,越小,越可靠.置信区间的长度反映了估计精度越小,1-越大,估计的可靠度越高,但确定后,置信区间的选取方法不唯一,常选最小的一个.几点说明越小,估计精度越高.这时,往往增大,因而估计精度降低.ch7375求参

3、数置信区间保证可靠性先提高精度再处理“可靠性与精度关系”的原则ch7376寻找一个样本的函数它含有待估参数,不含其它未知参数,它的分布已知,且分布不依赖于待估参数(常由的点估计出发考虑).例如求置信区间的步骤—称为枢轴量取枢轴量ch7377给定置信度1,定出常数a,b,使得(引例中由解出得置信区间引例中ch7378(一)一个正态总体X~N(2)的情形置信区间常用公式(1)方差2已知,的置信区间推导由选取枢轴量公式(一)(1)ch7379由确定解得的置信度为的置信区间为ch7380(2)方差2未知,的置信区间由确定故的置信区间为推导选取枢

4、轴量公式(2)ch7381(3)当已知时,方差2的置信区间取枢轴量，得2的置信度为置信区间为由概率公式(3)ch7382(4)当未知时,方差2的置信区间选取得2的置信区间为••则由公式(4)ch7383例1某工厂生产一批滚珠,其直径X服从解(1)即正态分布N(2),现从某天的产品中随机(1)若2=0.06,求的置信区间(2)若2未知,求的置信区间(3)求方差2的置信区间.抽取6件,测得直径为15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1置信度均为0.95例1ch7384由给定数据算得由公式(1)得的置信区间为(2)取查

5、表由给定数据算得ch7385由公式(4)得2的置信区间为(3)选取枢轴量查表得由公式(2)得的置信区间为ch7386为取自总体N(112)的样本,为取自总体N(222)的样本,置信度为1分别表示两样本的均值与方差(二)两个正态总体的情形(二)ch7387相互独立,的置信区间为(1)已知,的置信区间公式(5)ch7388(2)未知(但)的置信区间ch7389的置信区间为公式(6)ch7390相互独立,(3)未知,n,m>50,的置信区间的置信区间为因此公式(7)ch7391令Zi=Xi-Yi,i=1,2,…,n,可以将它们看成来自正态总体Z~

6、N(12,12+22)的样本仿单个正态总体公式(2)的置信区间为(4)未知,但n=m,的置信区间公式(8)ch7392取枢轴量(5)方差比的置信区间(1,2未知)因此,方差比的置信区间为公式(9)ch7393取枢轴量(6)方差比的置信区间(1,2已知)ch7394因此,方差比的置信区间为公式(10)ch7395例2某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱.现分别从两条流水线上抽取了容量分别为13与17的两个相互独立的样本与已知假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布,其均值分别为1与2例2ch7396(1)若它们的方差相同,求均值若不知

7、它们的方差是否相同,求它们的方差比的置信度为0.95的置信区间的置信度为0.95的置信区间;差ch7397解查表得由公式(6)的置信区间为(1)取枢轴量ch7398(2)枢轴量为查表得由公式(9)得方差比的置信区间为ch7399(三)单侧置信区间定义对于给定的(0<<1),是待估参数是总体X的样本,若能确定一个统计量使得则称为置信度为1-的单侧置信区间.单侧置信下限单侧置信上限(三)ch73100例3已知灯泡寿命X服从正态分布,从中随机抽取5只作寿命试验,测得寿命为1050,1100,1120,1250,1280(小时)求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿

8、命方差的单侧置信上限.解未知例3取ch