中科院_高等量子力学_金彪_期末考题

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1、量子力学历年试卷2004一推导出相干态在粒子数表象中的归一化表达式二用D¡L方法推出波函数的一级修正和能量的二级修正(需记住定态非简并微扰中相应的表达式)三判断矩阵元，当1)j0=j=02)j0=j=1=23)j0=j=¡1=2是否可能不为零4)推导得出当j0=j=1=2时的耦合表象基矢四1)证明在定态散射中(不详)2)对s=3=2的两个全同费米子求非极化散射截面五s=1=2的全同费米子系统的哈密顿如下(不详)1)给出哈密顿的二次量子化形式2)给出基态表示3)给出基态的能量一级修正2005一(1)求出算符g^=

2、(^xp^+^px^)=2在坐标以及动量算符中的矩阵元hx0jg^jxi和hp0jg^jpi(2)证明一维谐振子的相干态j®i具有最小的不确定度(应考虑随时间演化)二1(1)写出Heisenberg以及Interaction绘景中的力学量算符及各自随时间演化的方程(2)选用合适的方法求出一维自由粒子的传播子K(x;t;x0;t0)(3)已知初始时刻Ã(x;t0)=±(x¡x~)，利用上面的结果给出x处t时刻的波函数三(1)利用形如exp(i¼Jx=2)¢Jz¢exp(¡i¼Jx=2)=Jy的公式，用jjmiz表

3、示出jjmiy，用转动算符R^写出(实际是求三个欧拉角)(2)利用Wigner¡Echart定理确定以下几种情况中哪几种hj0m0jTjjmi¸¹不为零(a)j0=j=1=2，¸=0(b)j0=j=1=2，¸=1(c)j0=j=1=2，¸=2四(1)求出Lippman¡Schwinger方程的两种形式(自由与全GreenFunction)五(不详)2006一(1)H^=ap^2+bx^2+c(^xp^+^px^)=2，a;b;c是参数写出H^的本征方程H^jEi=EjEi在x表象下和p表象下的方程表达式(只需写

4、出表达式)(2)在相干态表象中计算算符g^=(^xp^+^px^)=2的平均值(已知x^、p^和上升、下降算符的关系式)二(1)写出F^=(^xp^+^px^)=2在Heisenbergpicture下的算符表达式(2)在相干态下求F^的平均值(3)给定½=3j+ih+j+1j¡ih¡j，j+i是S^2;s的共同本征态，写出s44zz表象下½的矩阵，并判断½是否为密度矩阵，是纯态或混态(4)计算sz在½下的平均值三2(1)用R(®;¯;°)和jjmiy表示jjmiz(2)用Wigner¡Echart定理证明hn

5、0j0m0jXjnjmi=0，已知j0=j=0四两种粒子可以分辨，自旋都是Ã!Ã!1=2，相互作用V(r)=a±(r)S1S2，已知10入射态为jWi=，求01(1)非极化散射截面(2)微分散射截面五PP给定s=1=2的全同电子系统的H^=p^2=2m+V±(r¡r)i0ijii(1)写出H^的二次量子化表达式(2)写出动量算符p^的二次量子化表达式(3)在微扰为0时写出基态表达式(4)写出与基态相差一个粒子态的表达式(5)在(4)的激发态中求出p^的平均值2007一(1)求相干态表达式(使用归一化条件)(2)

6、求exp(¡xa+)aexp(xa+)j®i(应为相干态的阿法矢量)二分别推导出H绘景和I绘景的态及算符随时间演化的表达式三(1)j1=1=2，j2=3=2，手算两个任意耦合态基矢的表达式(一个可直接写，一个需要算)(2)Wigner¡Echart定理证明hjmjT2¹jjmi=0，其中j=1=2四(1)写出G^+，G^+的表达式0(2)推导证明G^+=G^++G^+VG^+00五3PP(1)H=E+1V±(r¡r)，E为自由费米子能量，写出其二次nn200n量子化形式(2)写出粒子数算符N^的二次量子化形式h

7、i(3)求N;^H^整理：XIII感谢前辈的热情期待后辈的热心4