《正弦函数、余弦函数、及函数y=Asin(ωx+)的图象和性质》复习

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1、陈佳旭《正弦函数、余弦函数、及函数y=Asin(ωx+)的图象和性质》复习　　[复习重点]　　会用“五点作图法”画出正弦函数、余弦函数及y=Asin(ωx+)的图象；掌握正弦常数、余弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间、最小正周期；清楚y=sinx与y=Asin(ωx+)图象间的变换过程，了解振幅、频率、相位、初相的定义.　　[复习难点]　　准确理解周期函数的定义，灵活应用正弦函数、余弦函数的性质，求解以三角式确定的函数的性质.　　[内容]　　一、三角函数的图象和性质　sinx=Cosx=tgx=Ctgx=定义域x∈Rx∈R{x

2、

3、x≠kπ+,k∈Z}{x

4、x≠kπ,k∈Z}值域[-1，1][-1，1](-∞，+∞)(-∞，+∞)图象奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性单调增区间[2kπ-,2kπ+]k∈Z单调增区间[2kπ-π,2kπ]k∈Z单调减区间[2kπ,2kπ+π]k∈Z单调增区间(kπ-,kπ+),k∈Z单调减区间(kπ,kπ+π)k∈Z10陈佳旭单调减区间[2kπ+,2kπ+]k∈Z周期性T=2πT=2πT=πT=π对称性对称中心:(kπ,0)k∈Z对称轴:x=kπ+,k∈Z对称中心:(kπ+,0)k∈Z对称轴:x=kπ,k∈Z对称中心:(,

5、0)对称中心:(,0)最值x=2kπ+时，y取最大值1；x=2kπ+π时，y取最小值-1；　k∈Zx=2kπ时，y取最大值1；x=2kπ+π时，y取最小值-1；k∈Z无无　　二、函数y=Asin(ωx+)的图象和性质(A>0,ω>0)　　1．图象　　函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)x∈R的图象可由y=sinx图象按下列顺序变换得到:　　①相位变换:把y=sinx图象上所有点向左(>0)或向右(<0)平行移动

6、

7、个单位．　　②周期变换:把所有各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）　　③振幅

8、变换:把所有各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

9、轴x=k∈Z　　⑥最值:x=时，y取最大值A　　x=时，y取最小值-A．(k∈Z)　　[例题分析与解答]10陈佳旭　　例1．求函数的定义域.　　分析与解答:要使函数运算有意义，必有　　　　　　在数轴上标出不等式组中各不等式的解集.　　　　显然不等式解集的交集合也具有周期性.　　原函数的定义域，(k∈Z).　　说明:利用正、余弦函数图象及周期性，是求解不等式sin(ωx+)≥m或sin(ωx+)

10、m

11、≤1,

12、n

13、≤1).　　例2．求下列函数的值域.　　①　　②x∈R　　③y=sinx+

14、cosx+2sinxcosx　　x∈R　　分析与解答:三角式确定的函数求解值域.一般可从两个途径入手.一是将三角式化为一个三角函数的形式，从而利用三角函数性质求解值域，二是将三角式化为相同形，通过换元转化为代数函数求解值域.　　(1)10陈佳旭　　由x∈[0,π]，∴.由正弦函数图象可知，，即时，　　ymax=2,,即x=π时，ymin=-1.所以函数值域为[-1，2].　　(2)x∈R，去分母，3y+ysinx=2-cosx,移项整理　　ysinx+cosx=2-3y,由辅助角公式得　　　　∴,∵x∈R,　,　　∴,即.平方整理

15、得:8y2-12y+3≤0,解出，　　所以函数值域为.　　（3）由(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx　∴2sinxcosx=(sinx+cosx)2-1　　y=sinx+cosx+2sinxcosx=(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)-1　　令　　∵x∈R,　∴.则y=t2+t-1,　　当时，，当时，.所以函数值域为.　　例3．已知方程.10陈佳旭　　（1）若方程在[0，π]上有实根，求实数m的取值范围；　　（2）若方程在[0，π]上有两个相异实根，求实数m的取值范围.　　分析与解答:求解三角方程是个较

16、困难的问题，但仅考察三角方程在所给区间上解的个数，就可以联系函数的图象求解.　　（1）由　　∴整理为若要方程在[0，π]上有实根，等价于以[0，π]为定义域而求解函数值y的取值范围.由x∈[0，π],∴,　　当即x=0时，m有最大值1.　　当，即时