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时间：2019-06-04
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1、§9.7第一型曲面积分的计算一、第一型曲面积分的概念与性质定义设是光滑的，在。任意分成（也同时代表第曲面的面积），任取，作和式，设，如果当时，这和式的极限总存在，则称此极限为在曲面的第一型曲面积分或对面积的曲线积分，记作，即，其中称为被积函数，积分曲面。注：（1）当在光滑曲面连续时，存在。（2）面密度为连续函数的光滑曲面质量为。（3）第一型曲面积分具有与第一型曲线积分相类似的性质。一、第一型曲面积分的计算法设光滑曲面方程为，面上的投影区域为，函数在上有一阶连续偏导数，如果在上连续，则有。注：（1）在计算第一型曲面积分时，只要将被积函数中的，曲面的面积元素，换成其投影区域即可。4（
2、2）若曲面方程为，，则，（3）若曲面方程为，，则。（4）时，。化为二重积分后与重积分应用中求曲面面积公式一致。例1．计算曲面积分，其中是球面被平面截出的顶部。解：方程为，面上的投影区域为：，又，∴。例2．计算，其中由平面，，及所围成的四面体的整个边界曲面。解：整个边界曲面在平面，，及上的部分依次记为，，，，于是4∵在，，上，，∴。，，∵，∴。例3．计算，其中是由锥面被柱面所截得的有限部分。解：∵关于而对称，而，被积函数中都是奇函数，∴，∴。∵，，，，∴。4例4．计算，其中：，，。解：∵曲面关于平面和平面对称，∴，其中，的方程为，，，，把投影到平面，得，。4
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