《5.2.2 间接证明：反证法》教案

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1、《5.2.2间接证明：反证法》教案一、知识与技能1．了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；2．能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法。3．会用反证法证明简单的数学问题二、过程与方法1．从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；2．由具体事例入手，让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；3．由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假。[来源:学科网]三、情感态度与价值观初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学

2、意识。四种命题之间的关系和命题真假的判断.反证法的逻辑依据启发引导，分析讲解，练习领会。复习引入【师】昨天，我们学习了四种命题和四种命题间的关系。那么，四种命题是哪四种？它们间的关系如何呢？【生】略【师】知道了四种命题间的关系有什么用途呢？【生】略【师】下面我们来学习四种命题之间关系的应用。新课学习1．反证法的逻辑依据【师生互动】【例7】证明：若，且，则。分析：对于该命题的证明，从正面着手：∵∴又∵，∴且，即直接证明也可以。但总给人一种说理不是那么很得劲，美中不足的感觉。如果采用了证明方法：假设不全为0，不妨设

3、，则∵∴这与已知的矛盾，故。就会给人一种无可辩驳，不得不服的感觉。【师】对于后一种证明方法，大家能把它以“若p则q”的形式表述出来再看看合原来要证明的命题是什么关系吗？【生】后面要证明的命题写成“若则”的形式是：“若不全为0，则”原命题写成“若则”的形式是：“若，则”。它们两者之间互为逆否命题，真假一致。【师】像这样的证明方法我们把它叫做反证法。2．反证法的概念通过否定命题的结论而导出矛盾（可以是与原命题条件矛盾，也可以是与定义、定理、性质矛盾）来达到肯定命题的结论的一种数学证明方法.关于反证法，实际上我们在初中

4、学习平行线时，就早已遇到过了.我们知道，在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.我们学过了平行公理：“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”.下面我们用反证法来证明它的一个推论：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.已知：如图，∥，∥，求证：∥.证明：假设不平行于，即，则∵∥，∥，于是经过点就将有两条直线和都与平行，根据平行公理，这是不可能的.∴与不能相交，只能平行.3．反证法的主要步骤仔细分析上述问题不难看出，运用反证法时，其主要步骤可以概括为：否定——推理——否

5、定——肯定，四个步骤，即⑴否定结论——假设命题的结论不对，即肯定结论的反面成立；⑵推出矛盾——由结论的反面（称为“暂时假设”）出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾；⑶否定假设——由正确推理导出了矛盾，说明“暂时假设”不对；⑷肯定结论——由于否定结论是不对的，于是肯定结论成立.在上述四步中，关键是第二步，即“由‘暂时假设’推出矛盾”，怎样导出矛盾？通常有以下几种情况：①推出与定义、公理、定理相矛盾的结论；②推出与已知条件相矛盾的结论；①推出与“暂时假设”相矛盾的结论；④在证明过程中，推出自相矛盾的结论.练习领会

6、学生作下列各题【例8】用反证法证明：如果，那么.证明：假设不大于，则或者，或者.∵，∴当<与<与；=.这些都同已知条件矛盾，∴.【例9】若能被2整除，是整数，求证：也能被2整除.证明：假设不能被2整除，则必为奇数，故可令=(为整数),由此得,此结果表明是奇数，这与题中的已知条件（能被2整除）相矛盾,∴能被2整除.课堂小结本节主要学习了反证法的基本原理及其四个步骤.它的四个步骤实则是两大阶段，前三步是第一阶段，它是以矛盾律为依据，采用了一种特殊方法—先假设论题的反面为真，然后进行推理，推出一个与已知的事实相矛盾的结

7、果，从而说明的反面是谬误的；于是进入第二阶段，它是根据排中律说明，既然的反面是谬误的，那么论题就一定是正确的，至此，论题得证.