直接证明与间接证明-反证法(上课).ppt

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1、------反证法直接证明与间接证明.复习1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论已知条件.思考？将9个球分别染成红色或白色.那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?分析:假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4,则球的总数应不超过4+4=8,这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎样染,至少有5个球是同色的..把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是

2、最常见的间接证法，一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。定义反证法的思维方法：正难则反.其过程包括：反设——假设命题的结论不成立；存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；归缪矛盾（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。.说明：常用的正面叙述词语及其否定：正面词语等于大于（>）小于(<)是都是否定正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的至多有

3、n个任意两个否定不等于小于或等于（≤）大于或等于（≥）不是不都是至少有两个一个也没有某个某些至少有n＋1个某两个.例1用反证法证明：如果a>b>0，那么.用反证法证题的一般步骤是什么？（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。假设结论反面成立正确推理导出矛盾否定假设肯定结论.练习：1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为(　　)A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c都是奇数或至少

4、有两个偶数[答案]D[解析]恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．.2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(　　)A．有两个内角是直角B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角D．没有一个内角是直角[答案]C[解析]“最多”与“至少”互为否定，“一个”对应“两个”．.3已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。.应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论．（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”---类命题；（4）结论为“唯一”类命题；正难则反!.用反证法证明：圆的两条不是直径的相

5、交弦不能互相平分。已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.例2证明：假设弦AB、CD被P平分，连结AD、BD、BC、AC,DPOBAC因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四边形所以因为ABCD为圆内接四边形所以因此所以，对角线AB、CD均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦AB、CD不被P平分。.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.POBADC例2由于P点一定不是圆心O，

6、连结OP，根据垂径定理的推论，有所以，弦AB、CD不被P平分。证明：假设弦AB、CD被P平分，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成立证法二OP⊥AB，OP⊥CD，.例3求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交．[证明]　不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题设矛盾．.(2)b∥平面α.则平面α内有直线b′，使b∥b′.而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛

7、盾．综上所述，b与平面α只能相交．[点评]　直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的否定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确．.1.求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.[证明]　假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°.相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小于60°的假定不能成立，从而，一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.练习：..证明：用反证法证明a‖α。假设直线a与平面α不平行，则点A不在直线b上，否则a∩b=A与a

8、‖b矛盾。过点A在平面α