中档大题保分练(四)

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1、中档大题保分练(四)(推荐时间：50分钟)1．已知函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足＝.(1)证明：b＋c＝2a；(2)若b＝c，设∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，求四边形OACB面积的最大值．(1)证明　由题意知：＝，解得：ω＝，∵＝，∴sinBcosA＋sinCcosA＝2sinA－cosBsinA－cosCsinA，∴sinBcosA＋cosBsinA＋sinCcosA＋cosCsin

2、A＝2sinA，∴sin(A＋B)＋sin(A＋C)＝2sinA，∴sinC＋sinB＝2sinA⇒b＋c＝2a.(2)解　因为b＋c＝2a，b＝c，所以a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形，SOACB＝S△OAB＋S△ABC＝OA·OBsinθ＋AB2＝sinθ＋(OA2＋OB2－2OA·OBcosθ)＝sinθ－cosθ＋＝2sin＋，∵θ∈(0，π)，∴θ－∈，当且仅当θ－＝，即θ＝时取最大值，SOACB的最大值为2＋.2．张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，

3、每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是.(1)求张师傅此行程时间不少于16分钟的概率；(2)记张师傅此行程所需时间为Y分钟，求Y的分布列和均值．解　(1)如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟．所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P＝1－4＝.(2)设张师傅此行程遇到红灯的次数为X，则X～B，P(X＝k)＝Ck4－k，k＝0,1,2,3,4.依题意，Y＝15＋X，则Y的分布列为Y1516171819PY的均值E(Y)＝E(

4、X＋15)＝E(X)＋15＝4×＋15＝.3．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；(3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°.(1)解　当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC.又∵EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PA

5、C，∴EF∥平面PAC.(2)证明　以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，B(0,1,0)，F，D(，0,0)．设BE＝x，则E(x,1,0)，·＝(x,1，－1)·＝0，所以PE⊥AF.(3)解　设平面PDE的法向量为m＝(p，q,1)．由(2)知＝(，0，－1)，＝(x,1，－1)，由得m＝.而＝(0,0,1)，依题意PA与平面PDE所成角为45°，所以sin45°＝＝，即＝，得BE＝x＝－或BE＝x＝＋>(舍去)．故BE＝－时，PA与平面PDE所成角为45°.4．设f(x)＝x3，

6、等差数列{an}中a3＝7，a1＋a2＋a3＝12，记Sn＝f()，令bn＝anSn，数列的前n项和为Tn.(1)求{an}的通项公式和Sn；(2)求证：Tn<；(3)是否存在正整数m，n，且1

7、－2)(3n＋1)，所以＝＝，所以Tn＝<.(3)解　由(2)知Tn＝，所以T1＝，Tm＝，Tn＝，若T1，Tm，Tn成等比数列，则2＝·，即＝.当m＝2时，＝，n＝16，符合题意；当m＝3时，＝，n无正整数解；当m＝4时，＝，n无正整数解；当m＝5时，＝，n无正整数解；当m＝6时，＝，n无正整数解；当m≥7时，m2－6m－1＝(m－3)2－10>0，则<1，而＝3＋>3，所以，此时不存在正整数m，n，且1

8、n成等比数列．