中档大题保分练(一)

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1、中档大题保分练中档大题保分练(一)(推荐时间：50分钟)1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(cos(x－B)，cosB)，n＝，f(x)＝m·n，f＝.(1)求角B的值；(2)若b＝，·＝6，求a和c的值．解　(1)f(x)＝m·n＝cosx·cos(x－B)－cosB＝cos2xcosB＋cosxsinxsinB－cosB＝(cos2x·cosB＋sin2x·sinB)＝cos(2x－B)，∵f＝，∴cos＝，又∵B为△ABC的内角，∴－B＝即B＝.(2)由·＝6，及B＝，得ac·cos＝6，即ac＝12，在△A

2、BC中，由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB得14＝a2＋c2－2accos，a2＋c2＝26，从而(a＋c)2－2ac＝26，(a＋c)2＝50，∴a＋c＝5.解方程组，得，或.2．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y＝2x－1的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求证：Tn<1.(1)解　由条件＝2n－1，即Sn＝2n2－n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.又n＝1时，a1＝S1＝1适合上式，所以an＝4n－3(n

3、∈N*)．(2)证明　bn＝＝＝－.∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＝1－.∵n∈N*，∴－<0，∴1－<1，即Tn<1.3．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生．这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．(1)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？(2)若从所有“甲部门”人选中随

4、机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．解　(1)用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝.根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×＝4人，“乙部门”人选有10×＝4人．用事件A表示“至少有一名甲部门人选被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人选被选中”，则P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是.(2)依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0,1,2,3.P(X＝0)＝＝，P(X

5、＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，因此，X的分布列如下：X0123P所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.4．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝PB＝PC＝BC＝2CD，平面PBC⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥平面PBC；(2)求平面ADP与平面BCP所成的二面角(小于90°)的大小；(3)在棱PB上是否存在点M使得CM∥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．(1)证明　因为∠ABC＝90°，所以AB⊥BC.因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC

6、∩平面ABCD＝BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PBC.(2)解　如图，取BC的中点O，连接PO.因为PB＝PC，所以PO⊥BC.因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，所以PO⊥平面ABCD.以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系O－xyz.不妨设BC＝2.由AB＝PB＝PC＝BC＝2CD可得，P(0,0，)，D(－1,1,0)，A(1,2,0)．所以＝(1，－1，)，＝(2,1,0)．设平面ADP的法向量为m＝(

7、x，y，z)．因为所以令x＝－1，则y＝2，z＝.所以m＝(－1,2，)．取平面BCP的一个法向量n＝(0,1,0)．所以cos〈m，n〉＝＝.所以平面ADP和平面BCP所成的二面角(小于90°)的大小为.(3)解　在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD，此时＝.取AB的中点N，连接CM，CN，MN，则MN∥PA，AN＝AB.因为AB＝2CD，所以AN＝CD.因为AB∥CD，所以四边形ANCD是平行四边形，所以CN∥AD.因为MN∩CN＝N，PA∩AD＝A，所以平面MNC∥平面PAD.因为CM⊂平面MNC，所以CM∥平面PAD.