【培优练习】《2.1.1 平面》（数学人教a版高中必修2）

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1、人民教育出版社高中必修2畅言教育《2.1.1平面》培优练习本课时编写：成都市第二十中学付江平1．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点．2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABCD所在平面外一点，画出平面SBC和平面SAD的交线，并说明理由．4.观察正方体，

2、如图判断下列命题是否正确？(1)∠A1C1B＝60°；(2)四边形A1C1BD为菱形．用心用情服务教育4人民教育出版社高中必修2畅言教育5.在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图．(1)求证：B、D、E、F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．参考答案用心用情服务教育4人民教育出版社高中必修2畅言教育1．证明　∵l1⊂β，l2⊂β，l1l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．2．证明　(1)∵C1、O、M

3、∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．3.【解析】很明显，点S是平面SBC和平面SAD的一个公共点，即点S在交线

4、上，由于AB>CD，则分别延长AD和BC交于点E，如图所示．∵E∈AD，AD⊂平面SAD，∴E∈平面SAD.同理，可证E∈平面SBC.用心用情服务教育4人民教育出版社高中必修2畅言教育∴点E在平面SBC和平面SAD的交线上，连接SE，直线SE是平面SBC和平面SAD的交线．4.　(1)连接A1B可求得A1B＝BC1＝C1A1＝A1B1.∴△A1BC1为正三角形，因此∠A1C1B＝60°，命题正确．(2)虽然可求得A1C1＝C1B＝BD＝DA1，但A1、C1、B、D四点不在同一平面内，四边形A1C1BD不是菱形，命题错误．5.　(1)证明：由于CC1和BF在同一

5、个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故B、D、E、F四点共面(设为α)．(2)由于AA1∥CC1，所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD⊂α，故P∈α.又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P∈(α∩β)．同理可证得Q∈(α∩β)，从而有α∩β＝PQ.又因为A1C⊂β，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点．用心用情服务教育4