《3.1.2 特征值与特征向量的求法》导学案3

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1、《3.1.2特征值与特征向量的求法》导学案3教学目标1．掌握特征值和特征向量的求法；2．了解矩阵的简单应用.教学过程引例设，则的3个特征值是．此题结果立刻可得：6,0,0．方法1——通过解特征方程来求．（主要适用于数字型矩阵）例1（99，数1，3分）设阶矩阵的元素全为1，则的个特征值是．【分析】的特征多项式为解特征方程求得的个特征值是（个0）．注：此例用方法6求最快．例2（12，数1，11分）已知，二次型的秩为2．（1）求实数的值；（2）求正交变换将化为标准形．【解】（1）利用，可求得．（2）当时，．由可得的特征值为0,2,6．对，解线性方程组得基础

2、解系，对，解线性方程组得基础解系，对，解线性方程组得基础解系．因为为实对称矩阵，所以它对应于不同特征值的特征向量必正交，故只需将基础解系单位化．得令，则在正交变换，化为标准形．例3设4阶矩阵满足条件，，，则的伴随阵的一个特征值为．【分析】由，知，故有一特征值．由，得，又，故，所以的一个特征值为．注：此例中求的特征值用到了如下结论——设是阶矩阵A的1个非零特征值，则是的1个特征值．方法2——利用特征值的定义来求．（当比较容易看出关系式时，选用此法）例4（11，数1，11分）设为3阶实对称矩阵，的秩为2，且．（1）求的所有特征值与特征向量；（2）求矩阵．

3、【解】（1）因为的秩为2，故，所以0是的特征值．因为，所以是的特征值．于是的所有特征值为．（2）略．例5（13，数1，11分）设二次型，记．（1）证明二次型对应的矩阵为；（2）若正交且均为单位向量，证明在正交变换下的标准形为．【解】（1）略．（2）记，由于正交且均为单位向量，则有，．因为，所以，故0是的特征值．因为，故2是的特征值．因为，故1是的特征值．所以在正交变换下的标准形为．例6（08，数1，4分）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，，则的非零特征值是．【分析】因，，注意到线性无关，故非零，所以0，1是2阶矩阵的全部特征值，非零特征值为1．

4、方法3——利用与的多项式矩阵特征值之间的关系来求．（当特征值问题涉及到矩阵多项式时，选用此法）结论设是一个多项式，若是阶矩阵A的个特征值，则的多项式矩阵的个特征值为．当可逆时，的个特征值为．例7（98，数4，9分）设向量都是非零向量，且满足，记．求（1）；（2）的特征值．【解】（1）．（2）设是的任一特征值，则是的一个特征值，因，故，即，由的任意性知，有重特征值0．方法4——利用相似矩阵有相同的特征值来求．（适用于求相似矩阵的特征值）例8（03，数1，10分）设矩阵，求的特征值．【解】的特征多项式为解特征方程求得的3个特征值是1，1，7．因为，所以的

5、3个特征值是7，7，1．因为与相似，故的特征值为7，7，1，从而的特征值为9，9，3．此例综合运用了方法1、方法3、方法4．例9求解例6．【解】，因线性无关，故可逆，等式两边左乘，得，可知与相似，的特征值为0，1，所以的非零特征值是1．方法5——利用特征值的性质来求．（当已知阶矩阵的行列式之值或迹，以及个特征值时，选用此法）结论设阶矩阵的特征值为，则有（1）；（2）．例10已知0，2是矩阵的特征值，则；的第3个特征值是．【分析】因为0是的特征值，所以，解得．由特征值的性质1得，所以的第3个特征值是．方法6——利用与的特征值之间的关系来求．（当求两个非

6、方阵的乘积的特征值时，选用此法．特别适用于求列向量与行向量乘积的特征值）结论设是矩阵，是矩阵．若，则与有相同的特征值；若，则除有的全部特征值外，还有个零特征值．（证明见附录）例11求解引例、例1．方法7——利用秩为1的矩阵特征值的性质结论若阶矩阵的秩为1，则的个特征值为，．例12求例8中矩阵的特征值．【解】因，故的特征值为6，0，0，所以的特征值为7，1，1．例13（09，数1，4分）设3维列向量满足，则矩阵的特征值为．方法一【分析】由题设及矩阵秩的性质知，且主对角元素之和为2，故的特征值为2，0，0．方法二【分析】因为，所以1阶矩阵的特征值为2，于

7、是3阶矩阵的特征值为2，0，0．例14设，其中均为维列向量，且，则的特征值为．【分析】，仿例13得的特征值为（个0），所以的特征值为（个2）．