《3.2均值不等式》（人教b）

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1、人民教育出版社高二（必修五）畅言教育《3.2均值不等式》◆教材分析均值不等式也称基本不等式。本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用。本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解。教材用作差配方法证明均值不等式。作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法。在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能。一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大

2、值”。探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等。不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点。几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影。书中用心用情服务教育人民教育出版社高二（必修五）畅言教育练习A、B和习题都是基本题，要求全做。鉴于均值不等式的特殊作用，在教学中将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生

3、通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系。◆教学目标【知识与能力目标】学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。【过程与方法目标】通过实例探究抽象基本不等式。【情感态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。◆教学重难点◆【教学重点】用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式≥的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题。【教学难点】用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式≥等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题

4、。◆课前准备◆直尺、三角板、圆规等。◆教学过程（一）基础知识师出示课件第2页，回顾之前了解的关于三角形的边角关系，带领学生进行一个简短的复习。1.均值定理：用心用情服务教育人民教育出版社高二（必修五）畅言教育2.定理：(重要不等式）若a，b∈R，那么a²+b²≥2ab（当且仅当a=b时，取“=”号）3.基本不等式的几种特殊变形：注意等号成立的条件3.几个基本概念：5.最值定理：（1）若a，b∈R+且ab=p（p为常数）则（当且仅当a=b时取等号）（2）若a+b=S(a，b∈R+，则（当且仅当a=b时取等号）用心用情服务教育人民教育出版社高二（必修五）畅言教育（一）证明（

5、打开课件第8页）将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为ab那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2．得到结论：一般的，如果3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为当所以，，即理解基本不等式的几何意义（打开课件11页）在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=aBC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD你能利用这

6、个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立。因此：均值不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，用心用情服务教育人民教育出版社高二（必修五）畅言教育那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数。本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。（一）基础训练打开课件第1

7、3页对给出例题进行讲解1.设x+3y－2=0则函数z=3x+27y+3的最小值是DA.B.3+2C.6D.92.若t∈(0，1］，则有最小值B3.已知a，b是正数且a+b=1求的最小值。解：（法一）（法二）用心用情服务教育人民教育出版社高二（必修五）畅言教育（一）能力提升（打开课件16页）若正数ab满足ab=a+b+3，求ab的取值范围解：◆教学反思略。用心用情服务教育