3.2均值不等式

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1、3.2均值不等式学习目标1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3.掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征。学习过程一、新课导学※探索新知如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。探究：1、正方形ABCD的面积S=__________２、四个直角三角形的面积和S’=______３、S与S’有什么样的不等关系？若a,b∈

2、R，那么a2+b2≥2ab，（当且仅当a=b时，取“=”号）思考：（1）该结论成立的条件是什么？（2）公式中等号成立的条件是什么？（3）不等式左右两边有何种运算结构？由此公式，我们可以变形为：以下不等式成立吗？均值定理：若a>0b>0，，（当且仅当a=b时，等号成立）81.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；（积定和最小）当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值；（和定积最大）注意：在运用均值不等式求最值时，要注意使用条件，即一正，二定

3、，三相等，而在寻找定值时，有时条件不够明显，常通过恰当的拆项，添项，变形等配凑的技巧，化隐为显，使问题快速解决，常见变形应用：以下不等式中的均是正实数1、2、3、4、请熟记以上公式，以后经常用到。均值不等式的应用1.凑系数例2.当时，求的最大值。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。82.凑项例3.已知，求函数的最大值。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3.分离例4.求的值域。评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。4。

4、整体代换例5.已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：+≥2①,即≤1,∴≥6.∴x+y≥2≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是=，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.5.换元例6.求函数的最大值。8评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。变式训练：1.若，则=_____时,有最小值，最小值为_

5、____.2.（1）已知0＜x＜，求函数y=x(1-3x)的最大值;（2）求函数y=x+的值域.3.求函数y=的最小值.4.已知，求的最小值。5.已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．例7：（2010福建）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？变式：(2010年高考吉林卷)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算

6、，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)解析:搞清楚购地总费用和建筑总面积.8学习评价※当堂检测：1、已知：且，则的最大值为()(A)(B)(C)(D)2、若，且恒成立，则a的最小值是()(A)(B)(C)2(D)13、已知下列不等式：①；②；③.其中正确的个数是()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个4、若,且，则的最小值为.5、若，则中最大的是.6、设，则下列不等式中不成

7、立的是()(A)(B)(C)(D)7、若正数满足，则的取值范围是.8、若实数满足，则的最小值是()(A)18(B)6(C)(D)例7：解析：年维修费用成等差数列,年维修费用加上其他费用是汽车的消费总费用.解:设使用年的年平均费用为万元则使用年的维修总费用为万元依题得当且仅当即时取等号8时取得最小值3万元.答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3万元.例7变式：解：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.∴每平方米的平均综合费用,y＝560＋48x＋＝560＋48(x＋)．当x＋取最小值时，y有最小值．∵x>0，∴x＋≥2＝

8、30，当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．所以当x＝15时，y有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最