刘函数与方程函数的应用

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1、纽威教育6T教材系列函数与方程、函数的应用第十讲时间：2014年7月27日刘老师电话：15181552787一、兴趣导入(Topic-in):方老师在数学课上问阿细：“一半和十六分之八有何分别？”阿细没有回答。方老师说：“想一想，如果要你选择半个橙和八块十六分之一的橙子，你要哪一样？”阿细：“我一定要一半。”“为什么？”“橙子在分成十六分之一时已流去很多橙汁了，老师你说是不是？”二、学前测试(Testing)：函数与方程二分法求方程的近似解方程的根与函数零点的关系函数零点的存在性判定问答题（口答）1、函数与方程是什么关系？三、知识讲解(Teaching)：基础知

2、识（一）二次函数的零点与一元二次方程根的关系对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，当f(x)=0时，就是一元二次方程ax2+bx+c=0，因此，二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零点就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；也即二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象——抛物线与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.例题：1、已知关于x的一元二次方程2x2+px+15=0有一个零点是-3，则另一个零点是_______2、函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上零点个数是____（二）函数的零点的理解（1）函

3、数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.(2)据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)=0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)=0是否有实根，有几个实根.例题：1、函数f(x)=2x+5的零点是________2、设函数，则函数的零点是______3、函数f(x)=ax+b有一个零点是2，那么函数g(x)=bx2-ax的零点是_______（三）函数零点的判定判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)·f(b)＜0，若满足，那么函数y=f(x)在区间（a，

4、b）内必有零点.例题：1、求证：方程5x2-7x-1=0的根在一个在区间（-1,0）上，另一个在区间(1,2)上。（四）用二分法求方程的近似解要注意以下问题：（1）要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束.（2）初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大.（3）在二分法的第四步，由

5、a–b

6、＜，便可判断零点近似值为a或b.例题：1、利用计算器，求方程2x+2x–5=0的近似解.(精确到0.1)【解析】设f(x)=2x+2x–5，由于函数在R上是增函数，所以函数f(x)在R上至多一个零点.∵f(1)=–1＜0，f(2

7、)=3＞0，∴f(1)f(2)＜0，∴函数f(x)=2x+2x–5在(1,2)内有一个零点，则二分法逐次计算，列表如下：取区间中点值中点函数值(1,2)1.50.83(正数)(1,1,5)1.25–0.12(负数)(1.25,1.5)1.3750.34(正数)(1.25,1.375)1.31250.11(正数)(1.25,1.3125)∵

8、1.3125–1.25

9、=0.0625＜0.1，∴函数f(x)的零点近似值为1.3125.∴方程2x+2x–5=0的近似解是1.3125.2、方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内有实根，取区间中点x0=2.5，那么下一个有

10、根区间是_______（五）用二分法求曲线的近似交点应注意以下几点：（1）曲线的交点坐标是方程组的解，最终转化为求方程的根；（2）求曲线y=f(x)和y=g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y=f(x)–g(x)的零点，即求方程f(x)–g(x)=0的实数解.（六）常见函数模型①直线模型即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等，其增长特点是直线上升（x的系数k＞1），通过图象可以直观地认识它.②指数函数模型能用指数函数表示的函数模型.指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的

11、速度越来越快（底数a＞1），常形象地称为“指数爆炸”.③对数函数模型能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型.对数增长的特点是随着自变量的增大（底数a＞1），函数值增大的速度越来越慢.对数增大在现实生活中也有广泛的应用.④幂函数模型能用幂函数表达的函数模型，叫做幂函数模型.幂函数模型中最常见的是二次函数y=x2的模型，它的应用最为广泛.（七）函数模型的选择和建立①根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型.同时，要注意利用函数图象的直观性，作出散点图，来确定适合题意的函数模型.②建立数学模型的三关a．事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟

12、悉实际背景，为解题打开突