高二数学竞赛培训选拔赛

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1、高二数学竞赛培训选拔赛一选择题1.已知集合A={x

2、x2−x−2<0,x∈R}，B={x

3、x2−1≥0,x∈R}，则A∩B＝（）A.{x

4、-1

5、x≤−1,or1≤x<2}C.{x

6、1

7、1≤x<2}2.当时，下面四个函数中最大的是（）。A.sin(cosx)B.sin(sinx)C.cos(sinx)D.cos(cosx)3.已知椭圆上一点Ａ到左焦点的距离为，则点Ａ到直线的距离为（）A.2B.C.D.4.设非常值函数f(x)(x∈R)是一个偶函数，它的函数图像y=f(x

8、)关于直线对称，则该函数是（）A.非周期函数B.周期为的周期函数C.周期为2的周期函数D.周期为2的周期函数5.如果，则使f(x)<0的x的取值范围为（）A.0

9、11.从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有____种。12.整数x>y>z，且，则x,y,z分别为__________。三.解答题13.从半径为1的圆铁片中去掉一个半径为1、圆心角为x的扇形，将余下的部分卷成无盖圆锥。（1）用x表示圆锥的体积V；（2）求V的最大值。14已知抛物线的焦点为F，以点A（，0）为圆心，为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。（1）求证：点A在以M、N为焦点，且过F的椭圆上。（2）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得的等差中项？

10、如果存在，求a的值；如果不存在，说明理由。15.用水清洗一堆水果上残存的农药，假定用1个单位的水可清洗掉水果上残存农药量的50%。用水越多，清洗越干净，但总还有极少量农药残存在水果上。设用x个单位的水清洗一次水果后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比记为函数。（1）请规定的值，并说明其实际意义。（2）写出满足的条件和具有的性质。（3）设，现有个单位的水，可以清洗一次，也可以把水等分成2份后清洗两次，说明哪种方案能使水果上残存的农药量较少。选择题DCCCBB填空题2,,星期五,91,2,-1,-3解

11、答题13（1）设卷成的无盖圆锥体的底面半径为r，高为h，则有，，其中，，所以所以所以，（）（2）由（1）知，其中：当，即时，也即时，V取得最大值，所以V的最大值为14.（1）因为点A的坐标为（，0），抛物线的焦点为F（a，0），准线为，所以所以以A为圆心，

12、FA

13、为半径的圆在x轴的上方的方程为，（）由得设M（），N（）（其中：()均为正数），则有又抛物线上的点到焦点与准线的距离相等所以因为点F、M、N均在⊙A上，所以，因为，且所以点A在以M、N为焦点且过F的椭圆上（2）假设存在满足条件的a，则有，即设点

14、P的坐标为（），则有由，得化简，得所以，与矛盾故不存在满足条件的，即不存在值，使得点P为MN的中点，且

15、FP

16、是

17、FM

18、与

19、FN

20、的等差中项。15.（1）设，表示未清洗时水果上残留的农药量。（2）满足：，，具有的性质：在［０，）上单调递减，且（3）方案1：用m个单位的水，仅清洗一次因为，所以所以用m个单位的水，仅清洗一次，则水果上残存的农药量为方案2：把m个单位的水等分成2份来清洗因为又表示用x个单位的水清洗一次后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比，所以用个单位的水清洗以后，水果上残存的农药为；

21、再用个单位的水清洗后，水果上残存的农药量为两种方案中残存的农药量之差为于是可得下面的结论：当时，把水分成2等份清洗，水果上残存的农药量较少；当时，两种方案的清洗效果一样；当时，仅清洗一次，水果上残存的农药量较少。