北工大高数期中

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1、《高等数学》期中试卷(答案)一、单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。1．设数列与满足则下列断言正确的是【C】（A）若发散，则必发散；（B）若无界，则必无界；（C）若为无穷小，则必为无穷小；（D）若有界，则必为无穷小.反例（A）与（B）取；（D）取。高等数学（工—1）期中考试试卷第6页共6页2．设函数在定义域内可导，的图形如右图所示Þ则其导函数的图形为【A】(A)(B)高等数学（工—1）期中考试试卷第6页共6页（C）（D）高等数学（工—1）期中考试试卷第6页共6页3．在区间内，方程【C】(A)无实根(

2、B)有且仅有一个实根(C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根解设，因是偶函数，先讨论在内根的情况。由可知方程在内有一个实根；而在内，所以方程在高等数学（工—1）期中考试试卷第6页共6页内有惟一实根。当时，，故方程在内有惟一实根。所以选(C)。4．设，则在处的【B】(A)左、右导数都存在(B)左导数存在，但右导数不存在(C)左导数不存在，但右导数存在(D)左、右导数都不存在5.设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则【D】高等数学（工—1）期中考试试卷第6页共6页(A)有三个极小值点和一个极大值点(B)有一个极

3、小值点和两个极大值点(C)有两个极小值点和一个极大值点(D)有两个极小值点和两个极大值点高等数学（工—1）期中考试试卷第6页共6页二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分6．设，则，7．已知当时，与是等价无穷小，则常数8．求极限解设，当时，，故原式9．设在处二阶导数存在，则高等数学（工—1）期中考试试卷第6页共6页解原式10．设在上二阶可导，则在上的单调性为单调下降的.解，设，则，所以当三、计算下列各题：本大题共5小题，每小题7分，共35分.11．求极限：解：12．设其中f具有二阶导数，求：解：,13．设

4、，其中由方程确定，且及均可导，求：.高等数学（工—1）期中考试试卷第6页共6页解：由方程，ÞÞ14．求极限：解：因故又因所以15．证明：当时，有证：设辅助函数由于因此函数曲线在内向上凸，而因故当时，，即亦即四、解答题:本大题共15分.16．已知函数在点处二阶可导，且，(1)求：(2)再计算：解法1：(1)由高等数学（工—1）期中考试试卷第6页共6页可得，故。再由及，可得，即，可得(2)解法2：(1)因于是可计算Þ(2)17.设在上连续，在内二阶可导，连接点和的直线段，它与曲线相交于点，，证明：在内至少存在一点，使

5、高等数学（工—1）期中考试试卷第6页共6页证：由条件知,在、上满足拉格朗日定理的条件，于是使使因、、三点在一条直线上，所以，故再对在上应用罗尔中值定理Þ使得高等数学（工—1）期中考试试卷第6页共6页