相依风险模型的破产概率

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1、Vol.29(2009)数学杂志No.4J.ofMath.(PRC)3相依风险模型的破产概率王志明,余晖,张新亮(武汉科技大学理学院,湖北武汉,430065)摘要:本文研究了索赔额和索赔时间间隔相依的风险模型,得到了生存概率的表达式和最终破产概率表达式,并通过生存概率满足的积分微分方程求出了最终破产概率的Laplace2Stieltjes变换.关键词:相依;破产概率;Laplace2Stieltjes变换MR(2000)主题分类号:60F15中图分类号:O211.6文献标识码:A文章编号:02552779

2、7(2009)04205732041引言集体风险理论是保险和精算数学的重要组成部分,人们通常用如下的经典风险模型来描述保险公司的盈余N(t)R(t)=u+ct-∑Xi,(1.1)i=1其中u为保险公司的初始准备金;c为保费率,即单位时间收到的保费;{Xi,i≥1}为独立同分布的非负随机变量序列,Xi表示第i次的索赔额;{N(t);t≥0}为计数过程,它表示到时刻t为止的总索赔次数,设{Xi,i≥1}和与{N(t);t≥0}独立.对经典风险模型的研究已有丰富的结果,具体可参见文献[1].随着保险研究的不断深

3、入,为了使理论研究更好地拟合实际情况,人们对经典风险模[2]型进行了推广.Yuen和Guo研究了索赔次数相关的风险模型,得到了索赔相关的Poisson[3]和Erlang风险模型的最终生存概率的表达式,并给出了其Lundberg渐近性质.Boxma在假设索赔间隔依赖于当前索赔额的条件下,得到了破产函数的Laplace变换.Meng,Zhang[4]和Guo则假设索赔事件间隔决定下一次索赔额的分布,在索赔额服从指数分布情形得到了生存概率的具体表达式.本文将考虑一类索赔时间间隔和索赔额相依的风险模型,研究其破

4、产问题.2模型的建立我们考虑模型(1.1).假设{Xi,i≥1}和{Tj,j≥1}分别是两个独立同分布的非负随机变量序列,其中Xi表示第i次索赔额的大小,其均值为β,分布函数为F(x)=P(X≤x),并假设其导函数连续可微,{Tj,j≥1}表示索赔时间间隔,其分布函数为B(·).假设索赔过程是Markovian型的,即若第i次索赔额Xi>Ti,那么第i次索赔发生到第i+1次索赔发生时3收稿日期:2008208220接收日期:2008212219作者简介:王志明(19622),男,湖北崇阳,副教授,研究概率

5、统计.574数学杂志Vol.29的时间间隔Ti服从参数为α1的Poisson分布,否则服从参数为α2的Poisson分布.N(t)表示(0,t]时间内的总索赔次数,即nN(t)=supn:∑Ti0}的破产概率,即i=1ψ(u)=P∪{R(t)<0}

6、R(0)=u,t≥0其生存概率定义为φ(u)=1-ψ(u).定义T=inf{R(t)<0

7、t>0}为破产时刻,则ψ(u)=P(T<∞

8、R(0)=u).3主要

9、结果及证明(1)生存概率的积分表达式我们用φi(u),(i=1,2)分别表示第一次索赔发生时参数为αi的Poisson分布所对应的生存概率,其密度函数记为ki(t)=αiexp(-αit),并假设净收益条件成立,即P(X>Y)P(X≤Y)β<2c+.α1α2定理1对u≥0,φi(u),(i=1,2)满足如下积分表达式∞u+ctφi(u)=ki(t)P(Y≤y)φ1(u+ct-y)dF(y)dt∫0∫0∞u+ct+ki(t)P(Y>y)φ2(u+ct-y)dF(y)dt(3.1)∫0∫0证取i=1.设第一次

10、的索赔出现的时间为T1=t,索赔额为X1=y,则第一次索赔后盈余为u+ct-y,并且在y

11、T1=t]}∞u+ct=k1(t)P(Y≤y)φ1(u+ct-y)dF(y)dt∫0∫0∞u+ct+k1(t)P(Y>y)φ2(u+ct-y)dF(y)dt.∫0∫0类似可得∞u+ctφ2(u)=k2(t)P(Y≤y)φ1(u+ct-y)dF(y)dt∫0∫0∞u+ct+k2(t)P(Y>y)φ2(u+ct-y)dF(y)dt.∫0∫0

12、定理结论成立.(2)生存概率的积分-微分方程引理1φi(u)(i=1,2)在(0,∞)上连续.证取i=1.令φ1(u)=f1(u)+f2(u).其中∞u+ctf1(u)=k1(t)P(Y≤y)φ1(u+ct-y)dF(y)dt∫0∫0∞u+ctf2(u)=k1(t)P(Y>y)φ2(u+ct-y)dF(y)dt∫0∫0下面证f1(u)和f2(u)在(0,∞)上连续.令u+ctH1(u,t)=P(Y≤y)φ1(u+ct-y)dF