交错级数收敛性判别法

《交错级数收敛性判别法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第30卷第5期大学数学Vo1．30，№．52014年1O月COLLEGEMATHEMATICSoct．2014交错级数收敛性判别法房庆祥，刘雪山。，杨伟能，张媛(1．中国计量学院理学院，浙江杭州310018；2．山东省嘉祥县职业中专，山东济宁272400)[摘要]研究交错级数收敛性判别法．通过计算级数通项的极限和单调性得到三个判据，并对其中两个结论给出形式简化的推论，最后举例说明所提判别法的应用．[关键词]交错级数；莱布尼茨判别法；收敛；发散[中图分类号]O173[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2014)05—0082—051引言对于交错级数的审敛准则，一般高等数学教材

2、口]上仅介绍莱布尼茨判别法．对于很多交错级数，应用莱布尼茨定理判别散敛性计算繁琐．近几年来，很多学者对交错级数的审敛准则进行了深人研究．2006年，杨万必_2提出关于判定交错级数收敛性的两个结论．2010年，刘志高L3]研究了交错级数的对数判别法．此外，文献[4—7]也提出一些新的交错级数判别法及应用实例．这些研究工作对判别交错级数的收敛性提供了新的依据．本文进一步研究交错级数收敛性判别法，提出三个与正项级数的比值判别法和根式判别法类似的收敛性判据，并举例说明它们的应用．2交错级数收敛性判据定理1对于交错级数∑(一1)“(“>0，n一1，2，⋯)，(1)如果存在常数，／1，P，l，zz

3、和数列{0n}，满足>0，01时，级数(1)绝对收敛；当<1时，级数(1)发散；(ii)当一1时，若>0，则级数(1)收敛；若≤0，则级数(1)发散．证(i)当>1时，lim—Un+l一_1<1，由比值判别法可知，级数(1)绝对收敛；当<1时，lim一÷>1，数列{“}当充分大时是递增数列，从而limu≠0，级数(1)发散．一∞“”^n。。(ii)当一1时，若>0，则>1，数列{“)递减．由(2)知，111++～++++专[收稿日期]2013—08—12[基金项目]中国计量学院校立教改项目(HEX2014019)；中国计量学院教改重

4、点项目(HEX2012005)第5期房庆祥，等：交错级数收敛性判别法83⋯而1++1++1≤’(++鲁)一+cx。，(3)所以lim“n一0·根据莱布尼茨判别法知，交错级数(1)收敛．—。当一1时，若≤0，则由(2)知，土ll＼一⋯(+)’由于lim1+1”一f2，(4)—。。、7／，所以limu≥le-(2，因此limu≠0，故交错级数(1)发散．由定理1，可得如下推论：推论1对于交错级数(1)，如果存在常数，，P满足>0，0<户<1且"一im。。(＼井1一A)／一。，(5)则(i)当>1时，级数(1)收敛；当0，则级数(1)收敛；若≤0，

5、则级数(1)发散．定理2对于交错级数(1)，如果存在常数，，，，，>0，0仇时，有=++导，(6)则(i)当>1时，级数(1)发散；当<1时，级数(1)绝对收敛；(ii)当一1时，若≥0，则级数(1)发散；若<0，则级数(1)收敛．证(i)当>1时，由(6)知Y／充分大时，“一(+)≥，所以limu≠0，级数(1)发散．当<1时，存在N>0，当>N时，有+旦0，由(6)知lim“lim(1+／-~卜一+c。，⋯⋯＼因此，交错级数(1)发散

6、．84大学数学第3O卷若一0，由(6)知一n—o。⋯"lim。。(、1+导，‘)，”一e0≠0，因此，交错级数(1)发散．若<0，令)一(1+参+)，(8)则厂(z)一(厂())卜{((1+参+)1n(1+参+)一劳一)．(9)再令g(．z)一(1+参+)ln(1+参+)一Xp一詈(1o)和^c一(参+)(++)一学一，c则f(z)一(-厂(z))一{g(z)，(12)且当z一+c×3时，g(z)和()同号．又因为一+参++一+0、1)，所以当z一+C×3时，(z)<0．由(12)知f(z)<0．因此，当充分大时，{)单调递减．由于<0，故lim一—一∞。一。。(、+。+鲁，f)，一o

7、．根据莱布尼茨判别法知交错级数(1)收敛．由定理2，可得如下推论：推论2对于交错级数(1)，如果存在常数，，P，使得01时级数(1)发散；当>1时级数(1)收敛；(ii)当一1时，若≥0，则级数(1)发散；若<0，则级数(1)收敛．定理3的证明要用到下面的引理．引理1(拉贝对数判别法)嗍对于正项级数∑“，若liraln：l。”一。。“+1则(i)当z>1时，级数∑“收敛；(ii)当l<1时，级数