交错级数收敛性的探讨

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1、數學傳播35卷3期,pp.22-30交錯級數收斂性的探討沈淵源摘要:我們首先釐清何謂無窮級數,得以免去諸多的混淆與迷惑。接著透過數學套裝軟體Mathematica1,用實驗的方法來探討交錯調和級數之所以收斂的緣由;再用分析的方法確認之。而這個方法,又很自然地可推廣到一般的情況;從而得知,交錯級數之所以收斂的充份條件。最後我們藉著歐拉常數2γ來說明交錯調和級數是如何收斂於ln2的前因後果。1.引言:無窮的遐思?「無窮和(infinitesummation)」乃是一矛盾之語詞(oxymoron),其中的「無窮(infi-nite)」表示沒有窮盡、不停止、永不止息的意思,而「和(summatio

2、n)」則意味著抵達某一高潮(summit)的行動、達到一總數、得到一結論。我們如何對一永不止息的過程作一個結論呢?這有如Zeno3所提出的一些似是而非的理論。因此之故,我們就以無窮級數(infiniteseries)來代替無窮和之混淆,但仍須對此術語作一嚴格的定義。怎麼說呢?由於我們人的有限,當我們談到無限的時候,就必須特別的謹慎小心。有時候,直覺可能引導我們到一個錯誤的方向去,譬1n1如眾所周知的歐拉數e=lim(1+);直覺告訴我們,當n很大的時候{1+}會趨近於n→∞nn1n1,而1的任何次方是1,所以{(1+)}應該會趨近於1才是。同樣的危險有可能會出現在n1數學套裝軟體Math

3、ematica的簡介請參考數論輕鬆遊[6]第一節。112歐拉常數γ=lim(1++···+−lnn)。n→∞2n3芝諾ZenoofElea(∼490BC–425BC)是希臘的哲學家。提出一些似是而非的理論來說明假設任何東西都可分成無窮多等份所造成的困境。其中最有名的一個稱為Achilles與烏龜。Zeno說:雖然Achilles是史詩《Iliad》中的英雄人物,但若要他與一頭烏龜賽跑,只要烏龜先跑一段路,他就永遠追不上烏龜的,因為當他跑到原先烏龜所在的位置,烏龜已經又跑到他的前方。22交錯級數收斂性的探討23無窮和上面,且看交錯級數如下:X∞n123456n+1(−1)=−+−+−+−

4、···。n+1234567n=1若以不同的組合來看此一無窮和,就會得到完全不同,甚至是矛盾的結果,如下所示:X∞n123456n+1(−1)=(−)+(−)+(−)+···<0,n+1234567n=1X∞n1234567n+1(−1)=+(−+)+(−+)+(−+)+···>0。n+12345678n=1在第一種組合當中,每個括弧內的數皆小於0,所以和必定小於0;在第二種組合,除第一項1之外的每個括弧內的數皆大於0,所以和必定大於0。因此之故我們必須對無窮級數及其2收斂性等作一嚴格的定義,而萬萬不能以無窮和一語大而化之來敷衍了事!∞定義:給予一實數數列{an}n=1,我們定義n項部份

5、和為XnSn=ak∀n∈N。k=1P∞所謂的無窮級數,我們指的就是這個部份和數列{Sn},以符號n=1an表示之。若此P∞部份和數列{Sn}是收斂的,亦即其極限值存在;我們就說此無窮級數n=1an是收斂的,否則稱之為發散的。我們將這個部份和數列{Sn}的極限值稱之為無窮級數的和,仍然用同樣的符P∞號n=1an來表示。一般而言,計算一個無窮級數的和需要兩個步驟;其一為想盡各式各樣的辦法來找出部份和Sn的公式,然後再根據這個公式來計算其極限值。第一個步驟往往很難,除了幾何級數(Ge-ometricSeries)、伸縮級數(TelescopingSeries)及一些較特殊的級數外,差不多大部

6、份的級數都被摒除在外。所以我們只好退而求其次,只問極限值存在嗎?關於這個,我們有許許多多判別級數收斂性的方法。至於求和的問題,只好訴諸所謂的數值方法來求其近似值;而這也是Mathematica可以大大發揮的地方!為了說明上述求和步驟之二重奏,我們一起來看一個大家所熟悉的級數如下:且看交錯調和級數111111−+−+−+−···。2345624數學傳播35卷3期民100年9月大家都知道這個級數是收斂的,它的和到底是多少呢?在下一節中,我們先用實驗的方法探討一下,這個級數是如何收斂的;然後再用分析的方法來確認之,並藉著定義歐拉常數γ的那個數列{1+1+···+1−lnn}來說明交錯調和級數

7、是如何收斂於ln2的前因後果。2n2.實驗:交錯調和級數為何收斂?1Pn+1令n∈N且令an=(−1),則其對應的級數an就是所謂的交錯調和級數n111111−+−+−+−···。23456Xn令Sn=ak為其n項部份和。級數是否收斂,完全看此部份和數列{Sn}是否收k=1斂;所以當務之急乃觀察此部份和數列{Sn}的變動趨勢,由此再來推斷極限值limSn存在n→∞與否。(a)先定義部份和數列s[n]如下:In[1]:=s[n_]:=Sum[(-