07角的内切圆的性质及应用

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1、2014年第7期7角的内切圆的性质及应用沈文选(湖南师范大学数学奥林匹克研究所，410081)中图分类号：0123．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2014)07—0007—04(本讲适合高中)CAB=NAD，／CBA=NBD，一个圆与一个角的两边相切的图形称为角的且CN平分ANB；内切圆．角的内切圆图形是一个特殊的轴对称图(2)当PO与AB交于点M时，有形．这个图形将直线型图与曲线型图组合在一起，ACD=MCB，ADO=／MDB，因而，其具有一系列美妙的性质，它是一系列数学且AM平分CMD；竞赛

2、题的命制背景图．认识这些性质，在处理某些(3)PQ=PC·PD—QC·QD；竞赛题时，可获得简捷思路．(4)1=1+葡I+I．1性质介绍推论2在性质2的条件下，(1)设Ⅳ为CD上一点，则性质1设o0与APB的两边分别切于点C=DBN铮PBC=DAN；A、，弦AB的中点为，射线PM与00交于点(2)设、Ⅳ分别为AB、CD的中点，则，、(J『在点P与之间)．则(1)、B关于射线对称；AM平分CMD§CN平分ANB；(3)过点B(或c)且平行于PA的直线被直(2)过点的弦的两端点与0、P四点共圆；线AD、AC(或AB

3、)截出相等的线段．(3)，、J『分别为过点的弦的两端点与P构性质3设O0与APB的两边分别切于点成顶点的三角形的内心与旁心．A、，过点P的两条割线分别与o0交于点C和由于篇幅所限，性质的证明留给有兴趣的D、E和F(C在点P与D之间，E在点P与F之读者．间)．若直线CF与DE交于点Q，直线CE与DF性质2设o0与APB的两边分别切于点交于点尺．则A、Q、B、R四点共线．A、B，过点P的射线与O0交于点C、D(C在点P与D之间)，且与AB交于点Q．则2例题选讲(1)AC·BD=AD·BC(即四边形ACBD为调例1P

4、为o0外一点，过点P作O0的两条和四边形)；切线，切点分别为A、．设Q为PO与AB的交点，(2)Ⅳ为CD中点的充分必要条件为P、A、N、过点Q作00的任意一条弦CD．证明：△PAB与B四点共圆；△PCD有相同的内心．⋯(3)PC=PD(即c、D调和分割线段PQ，或(2001，中国西部数学奥林匹克)事实上，由性质1(3)即证．P、Q调和分割线段co)．例2已知PA、PB是o0的两条切线，切点推论1在性质2的条件下，分别为A、B，、Ⅳ分别为线段AP、AB的中点，MN(1)当Ⅳ为CD的中点时，有的延长线与O0交于点C

5、，点Ⅳ在与C之间，收稿日期：2014—03—21联结PC与O0交于点D，ND的延长线与PB交8中等数学于点Q．证明：四边形PMNQ为菱形．2AD·BC=AB·CD．①(2007，泰国数学奥林匹克)由DAQ=PBC=CAB，证明如图1，设CM与o0交于点E，联结ADQ=ABC。PEEOOCOP．知ADQcoAABC~A--D-AD·BC=AB·QD．②由式①、②知Q为CD的中点．P于是，由推论l(1)知DBQ=ABC=PAC．例4如图3，已知P、Q分别是圆内接四边图l形ABCD的对角线AC、BD的中点．若BPA=

6、由性质1(2)，知P、C、0、E四点共圆．DPA，证明：AQB=CQB．显然，P、N、0三点共线，且PN．PO=PB=PD·PC．于是，D、C、0、N四点共圆．故PND=PCO=PCN+NCO=POE+CEO=PNE．从而，点D与E关于PN对称，即ND与NE关于PJ7、r对称，点与Q关于PN对称．l釜l3于是，Q为船的中点．(2011，全国高中数学联合竞赛)证明如图3，延长BP，与圆交于点E．由QN／／=+PB／／MN，知四边形PMNQ-由P为AC的中点及BPA=DPA，知E、为菱形．D关于AC的中垂线对称．例

7、3过圆外一点作圆的两条切线和一条割从而，AE=CD，CE=AD．线，切点为A、曰，所作割线与圆交于点c、D，c在电sBE=S△BcE点P、D之间．在弦CD上取一点Q，使DAQ=AB·AEsinBAE=BC·CEsin叩PBC．证明：DBQ=PAC．[3]A·CD=BC·AD．(2003，全国高中数学联赛)由调和四边形性质，知过点A、c的切线与直证明如图2．线BD交于点再由推论2(2)，知AQB=CQB．【注】可由AB·CD=BC·AD，结合托勒密定理P推知△AQD∽△ABC∽△DQCjAQB=CQB．例5o0为

8、△ABC的外接圆，AM、AT分别图2为中线和角平分线，过点曰、C的圆的切线交于点由性质2(1)，知四边形ACBD为调和四P，联结AP，与BC、o0分别交于点D、．证明：T边形．是△AME的内心．故AC·BD=AD·BC．证明如图4，设直线OP与o0交于点Ⅳ、L由托勒密定理得2014年第7期9APP图4图6则点在OP上，点￡在直线AT上．(1997，中国数学奥林匹克)由性质2(3)，知M