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1、第12期初中数学教与学三角形内切圆的性质及其应用彭代光(四川省成都市郫县犀浦镇实验学校,611731)初中数学中内切圆的内容看似简单,其11x+y=180-130,实它有丰富的内涵,也是初中几何中一个重22要的知识点,三角形内切圆的应用与三角形1x+1z=180-110.22的面积、三角形的全等及相似等知识有着密x+y=100,z=80,切的联系.本文旨在对三角形内切圆的性质∴∴x+z=140.y=40.及应用作一些分析.x=60,一、三角形内切圆的基本性质∴y=40,三角形内切圆的圆心称为内心.由三角z=80.形内切圆的定义可以直接得到下面的结论:于是三个内角便可
2、求得.1.内心的位置由三角形任意两个角的平分线的交点确定,反过来内心与三角形的每个顶点的连线平分这个角.2.内心到三角形三边的距离相等,这个距离就是三角形内切圆的半径.例1如图1,已知点O是ABC的内心,∠AOC=110°,∠AOB=130°,求ABC的三个内角的度数.例2如图2,已知⊙O是RtABC的内切简析可设∠BAC=x,∠ABC=y,圆,∠C=90°,切点分别是点D,E,F.连接AO∠ACB=z.并延长交BC于点G.求证:AF·AG=AO·AC.据上述结论,再结合三角形内角和定理,简析由题设知O是内心,那么根据结可得:论1知AO就是∠BAC的平分线,连接OF
3、,由格标上数1或-1.如果能使60个方格剪成15这与x、y都为整数相矛盾.块符合要求的“四连格”,则每一“四连格”中因此,余下的方格不能剪成15块符合要数字之和为2或-2.设其中数字之和为2的求的“四连格”.请注意:倘若按上述推理方法,对某一类有x块,数字之和为-2的有y块,由于方格中似的图形则得x,y为整数.不能断定可以剪成“1”和“-1”的个数是相同的,故有若干块形如图1的“四连格”,你能举出这样的15x+y=15,x=2,例子吗?解得2x-2y=0.15y=.2·7·初中数学教与学2010年切线的性质知OF⊥AB.于是∠C=∠AFO,切线的性质以及三角形面积公
4、式得:那么AFO∽ACG.根据相似三角形的性SABC=SBOC+SAOC+SAOB质以及比例的性质就可得结论.111=ar+br+cr二、三角形内切圆的三个切点到各个顶222点的距离=1r(a+b+c).2若已知三角形的三边长,则可以求出其另海伦公式是重要的三角形面积公式,内切圆的三个切点分别到三角形各个顶点的即:距离.S=q(q-a)(q-b)(q-c),如图3,已知:ABC的三边分别为a,b,a+b+cc.⊙O是内切圆,切点分别是点D,E,F.(其中q=).2设AD=AE=x,BD=BF=y,CE=CF这样若知道三角形的三条边的长度,就=z.可以求出内切圆的半径
5、与面积.运用切线长定理可得例3如图4,已知ABC的三边为a,b,x+y=c,c,并且a=14cm,b=13cm,c=15cm.求这个y+z=a,三角形的内切圆的面积.x+z=b.222解∵a+b≠c,b+c-ax=,∴ABC显然不是直角三角形.213+14+15解得a+c-b∴q==21,y=,221a+b-c由S=r(a+b+c)r=qr,z=.22为了方便记忆,如果我们设三角形三边则21(21-14)(21-13)(21-15)a+b+c=21r,和的一半为q,即q=.显然有284得r==4.x=q-a,21y=q-b,∴ABC的内切圆面积为:222z=q-c.
6、πr=π×4=16π(cm).AD=AE=q-a,四、直角三角形的内切圆半径于是得到BD=BF=q-b,CF=CE=q-c.如图5,⊙O是RtABC的内切圆,∠ACB三、三角形的面积、三边长与内切圆半径=90°,三边分别是a,b,c.切点分别是点D,E,之间的关系F.连接OE,OF,显然∠C=∠OEC=∠OFC如图4,连接AO,BO,CO,DO,EO,FO,由=90°,则四边形OECF是矩形.又OE=OF=·8·第12期初中数学教与学r,所以四边形OECF是正方形.并且由勾股定(1)求k的取值范围.2221(2)当两个交点的横坐标的平方和等于理a+b=c,及直角三角
7、形面积S=ab,210时,求这个抛物线的解析式.我们可进一步推导发现新的规律.(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为由上述结论可得1ab=1r(a+b+c),M,它与x轴的两个交点从左到右依次为A,B,22与y轴的交点为P,求PMB的内切圆与外接ab容易得r=.于是我们就得到直角三圆半径之比.(成都市中考题)a+b+c略解(1)k<2;角形的内切圆半径为:2(2)y=x-4x+3;a+b-cabr==.222a+b+c(3)PB=3+3=32,通过对以上这个等式的变形,很容易就22PM=2+(3+1)=25,222得到a+b=c.这也是证明勾股定理的一种22M
