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1、2009年第5期解题研究中小学数学·高中版圆系方程法释疑湖北省巴东县教育局(444300)高卫东湖北省巴东县第一高级中学(444300)乔凤22利用各种“圆系方程”来解某些关于圆与圆,圆+F2=0的相同交(切)点的圆系方程为:x+y+D1x与直线相交或相切的解析几何习题,能简化解题步+Ey+F+λ(x2+y2+Dx+Ey+F)=0(λ≠11222骤,快速而准确地得到结果.但是,教师往往没太注意-1),此圆系方程中不包含圆C2,直接应用该圆系方给学生介绍这种方法的方式和时机,使很多学生对此程,必须检验圆C2是否满足题意.其中λ是待定参数,方法只是一知半解,影响其正
2、确和灵活运用.“百度知从题设中给出的其它条件来确定(计算)其具体取道”中就看到有不少网友(学生)提过相关问题.从所值,并没有确切的几何意义.作为学生初次接触,如果提的问题可见提问者初次接触此方法时感到一头雾教师直截了当地介绍,学生会有突如其来的感觉.在水,没有真正理解和掌握.而所提供的答案也没有解今后遇到类似问题时只好生搬硬套地应用,经多次机释透彻,大多是含糊其词.如一位网友提到“圆系方程械性地强化训练,也算勉强接受了这种方法.在学生是怎么得来”的问题,而“楼主”所推举的最佳答案只将信将疑地把结果计算出来后不免要问,这是原题所是说明这种组合的方程代表的曲线(其实
3、并不一定是要求的结果吗?经检验也正是所求,然而对如此简捷圆)过已知两圆的交点.还有一位网友出示一道要求的方法叹服之余,还是疑虑难消.用圆系方程解答的习题,最终没有求得满意答案,只本文以最为典型的情形“过已知两圆的两交点的好对避开圆系方程的作答者无奈地回道:“最佳答案圆系”为例进行探讨,谈谈如何使学生易于理解和接给你好了,反正没有人按要求答.”受“圆系方程法”.怎样想到可以设成这种形式?为什教材中并没有“圆系”这个概念.笔者认为,“圆么可以这样设立?学生产生困惑的主要原因是感到突系”一词只是在解题过程中进行分析和思考时引用的然,对此,通过下面例1来缓冲将产生明显效
4、果.技巧性术语,而正式书面答题时大可不必使用该词22例1已知⊙C1:x+y+D1x+E1y+F1=0和(当然用亦无妨).因此本文对“圆系”的概念不下精⊙C:x2+y2+Dx+Ey+F=0交于两点.求证方2222确定义,也不作深究,只作以描述.从一般意义上说,程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(x2+y2+Dx+Ey+11122圆的方程中有不确定的参数,当参数变化时就得到一F2)=0(λ≠-1)所表示的曲线也是圆,并且经过系列圆,这些圆构成的集合就是一个圆系,这个带参⊙C1与⊙C2的两个交点.数的方程就是该圆系方程.在实际问题中,往往遇到本例证明很简单,在此省略.(
5、为省篇幅,本文所的是所针对的圆符合某些条件,但又不能足以有限确举各例只作必要分析而不陈述详细解答过程)例1所定,这些圆的集合就构成一个圆系.如果有一种特定述特性甚至可以扩展到一般情形:对于曲线S1:形式的方程,使圆系中每一个圆都可以通用,就把这f(x,y)=0和曲线S2:g(x,y)=0,设a,b不全为0.则种形式的方程作为该圆系的方程.把利用“圆系方程”S1和S2的公共点也在方程af(x,y)+bg(x,y)=0所解题的方法简称“圆系方程法”.这类题型中根据题设表示的曲线S上.可描述为:“两曲线方程的线性组合的不同,经常采用的圆系方程形式有很多种.有些形所代表
6、的曲线也经过这两曲线的每一个交点”.对此式比较好理解,如以定点C(1,2)为圆心的圆系方程作以简要证明:假设P(x0,y0)是曲线S1和S2的任意22(x-1)+(y-2)=m(m>0),其参数m有明确具公共点,其坐标既满足S的方程又满足S的方程,即12体的几何意义,即半径的平方,易于被学生理解和接f(x0,y0)=0,g(x0,y0)=0.显然af(x0,y0)+bg(x0,y0)受.而有些圆系方程形式就没有这样一目了然,学生=0,说明P(x0,y0)在曲线S上.为叙述方便,把曲线S初次接触感到疑惑不解.如交(切)于相交(切)圆C1:称作S和S的线性组合,所有
7、S组成的集合称作S和12122x+y+Dx+Ey+F=0与直线l:Ax+By+C=0S2组建的曲线系.如,把交(切)于相交(切)的圆与直22的相同交(切)点的圆系方程为:x+y+Dx+Ey+F线相同交(切)点的圆系”简称为圆与直线组建的圆+λ(Ax+By+C)=0;交(切)于相交(切)圆C:1系.其实还可以研究任意两曲线(包括直线)组建的2222x+y+D1x+E1y+F1=0与C2:x+y+D2x+E2y曲线系的性质.如,没有公共点的两曲线的线性组合,39中小学数学·高中版解题研究2009年第5期或者是这两曲线之一,或者与这两曲线都没有公共(1+λ)E=E1+
8、λE2,(1+λ)F=F
