直线系、圆系方程

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1、教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（，）的直线系方程：（A,B不同时为0）.例1求过点圆的切线的方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.　　解析：设所求直线的方程为（其中不全为零），　　则整理有，　∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离等于半径1，故，　　整理，得，即（这时），或．　　故所求直线l的方程为或．点评：对求过定点（，）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:，注意的此方程表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直

2、线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．练习：　过点作圆的切线l，求切线l的方程．　　解：设所求直线l的方程为（其中不全为零），　　则整理有，　∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离等于半径1，故，　　整理，得，即（这时），或．　　故所求直线l的方程为或．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线：（不同时为0）与：（不同时为0）交点的直线系方程为：（，为参数）.教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter例2求过直线：与直线：的交点且在两

3、坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：，当直线过原点时，则=0，则=－1，此时所求直线方程为：；当所求直线不过原点时，令=0，解得=，令=0，解得=，由题意得，=，解得，此时，所求直线方程为：.综上所述，所求直线方程为：或.3、求直线系方程过定点问题例3证明：直线(是参数且∈R)过定点，并求出定点坐标.分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.解析：（恒等式法）直线方程化为:,∵∈R,∴，解得，，，∴直线(是参数且∈R)过定点（1,1）.（特

4、殊直线法）取=0，=1得，，，联立解得，，，将（1,1）代入检验满足方程，∴直线(是参数且∈R)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式个系数为0，列出关于的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.一、常见的圆系方程有如下几种：教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter1、以为圆心的同心圆系方程：　

5、与圆＋＋＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：＋＋＋＝０2、过直线＋＋Ｃ＝０与圆＋＋＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：＋＋＋Ｆ＋（＋＋Ｃ）＝０（Ｒ）3、过两圆:＋＝0，:＋＝０交点的圆系方程为：＋＋（＋）＝0（≠-１，此圆系不含:＋＝０）特别地，当＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆

6、心在直线x-y-4=0上的圆的方程。例１、求经过两圆＋3－－2＝０和＋2＋＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程．解：方法3：由题可设所求圆的方程为：　　（＋3－－2）＋（＋2＋＋１）＝０∵　（0，0）在所求的圆上，∴　有－2＋＝０．　从而＝２故所求的圆的方程为：即　＋7＋＝０。练习：求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.1解:构造方程x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-(4+28λ)=0此方程的曲线

7、是过已知两圆交点的圆,且圆心为当该圆心在直线x-y-4=0上时,即∴所求圆方程为x2+y2-x+7y-32=0教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：例2（1）：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。　　分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。解：圆和的公共弦方程为过直线与圆的交点的

8、圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程例２（2）;求经过直线：2＋＋4＝０与圆Ｃ：＋2－4＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程．