第十讲 勾股定理(含解答)-

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1、第十讲勾股定理一、选择题1．△ABC周长是24，M是AB的中点MC=MA=5，则△ABC的面积是（）A．12;B．16;C．24;D．302．如图1，在正方形ABCD中，N是CD的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则AM：AB=（）A．;B．;C．;D．(1)(2)(3)3.如图2，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的长为（　　　　）A.2;B.2;C.2;D.34．如图3，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10，并且P点到CD边的距离也等于10，那么，正方形ABCD的面积是（）A．200;B．225;C．256;D．150+105．如图

2、4，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，这个最小值为（）A．12;B．10;C．16;D．20二、填空题(4)1．如图，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点，记（i=1，2，……，10），那么，=_________。2．如图，设∠MPN=20°，A为OM上一点，OA=4，D为ON上一点，OD=8，C为AM上任一点，B是OD上任意一点，那么折线ABCD的长最小为__________。3．如图，四边形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AB，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD的面积=__________。-6

3、-4．若x+y=12，那么的最小值=___________。5．已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为____________。三、解答题1．如图△ABC三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC内的点P向△ABC三边分别作垂线PD，PE，PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的长度。2．如图，在△ABC中，AB=2，AC=，∠A=∠BCD=45°，求BC的长及△BDC的面积。3．设a,b,c,d都是正数。求证：4．如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=5-，CD=6，求AD。5

4、．如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长。答案一、选择题1．C2．A3．B4．C5．C解答：1．∵MA=MB=MC=5，∴∠ACB=90°知周长是24，则AC+BC=14，AC+BC=10，∴2AC·BC=(AC+BC)-(AC+BC)=14-10=4×24∴2．如图，延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则△BAM∽△TOB∴AM：MB=OB：BT-6-∴MB=2AM·BT（1）令DN=1，CT=MD=k，则AM=2–k所以BM=BT=2+k代入（1），得4+(2–k)=2(2–k)(2+k)所以k=所以AM：AB=：2=3．

5、如图，过O作EF⊥AD于E，交BC于F；过O作GH⊥DC于G，交AB于H设CF=x，FB=y,AH=s,HB=x,所以OG=x,DG=s所以OF=OB-BF=OC-CF即4-x=3-y所以x-y=16–9=7（1）同理有OH=1-s=3-t所以t-s=3-1=8（2）又因为OH+HB=OB即y+t=9（1）-（2）得(x+s)–(y+t)=–1所以OD=x+s=(y+t)–1=9–1=8所以OD=24．如图，过P作EF⊥AB于E，交CD于F，则PF⊥CD所以PF=PA=PB=10，E为AB中点设PE=x，则AB=AD=10+x所以AE=AB=(10+x)在Rt△PAE中，PA=PE+AE所以

6、10=x+[(10+x)]所以x=6所以正方形ABCD面积=AB=(10+6)=2565．如图，作B关于AC的对称点B，连AB，则N点关于AC的对称点N在AB上，这时，B到M到N的最小值等于B→M→N的最小值，等于B到AB的距离BH，连B与AB和DC的交点P，则=×20×10=100，由对称知识，∠PAC=∠BAC=∠PCA所以PA=PC，令PA=x，则PC=x，PD=20–x，在Rt△ADP中，PA=PD+AD所以x=(20–x)+10所以x=12.5因为=PA·BH所以BH=二、填空题1．40；2．12；3．；4．13；5．6，8，10或5，12，13解答：1．如图，作AD⊥BC于D，在

7、Rt△ABD和Rt△APD中，AB=AD+BD所以-6-所以所以所以1．如图，作A关于ON的对称点A，D关于OM的对称点D，连结AB，CD，则AB=AB，CD=CD，从而AB+BC+CD=AB+BC+CD≥AD因为∠AON=∠MON=∠MOD=20°，所以∠AOD=60°又因为OA=OA=4，OD=OD=8，所以OD=2OA即△ODA为直角三角形，且∠OAD=90°所以AD=所以，折线ABCD的长的最小值是1