贝叶斯公式(BayesTheorem)

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1、贝叶斯公式王社英2015年11月7日摘要贝叶斯公式原来没搞懂，据说它很重要，用的很广，自己重新看看书，总结了一下计算的方法，理解定理含有的意义。目录1贝叶斯公式12计算方法23意义31贝叶斯公式定理1.1.设E是随机实验，若B;A1;A2;


;An是E中的事件，且满足：质贱贩P质Ai贩>贰贬i贽贱;贲;


;n贻质贲贩事件A1;A2;


;An是样本空间的一个分割贻质贳贩P质B贩>贰贮则P质AiB贩P质Ai贩P质BjAi贩P质AijB贩贽贽Pn;i贽贱;贲;


;n:质贱贩P质B贩j=1P质Aj贩P质BjAj贩利用条件概率

2、公式和全概率公式易证式质贱贩.称式质贱贩为贝叶斯公式(Bayesformula),又称之为逆概率公式.它是概率论中一个著名的公式，由英国学者贝叶斯首先提出。贱2计算方法贝叶斯公式的计算可以画一个图，或者叫做概率树P质BjA1贩P质A1贩P质B贖jA1贩贱P质BjA2贩P质A2贩P质B贖jA2贩贝叶斯公式的计算就是两层贮第一层的子树数目不定，最常见的是两个；第二层的子树是确定的，就是两个；要把第二层的位置放整齐贬含有B全部放在上面贮那么，贝叶斯公式的计算，就可以流程化了。P质Ai贩P质BjAi贩Pn;i贽贱;贲;


;n:质贲

3、贩j=1P质Aj贩P质BjAj贩可以把P质Ai贩P质BjAi贩视为根节点P质Ai贩与子节点P质BjAi贩的乘积。把P质Ai贩从上到下依次计算。当我们计算时，如果计算事件B发生了，那么所有出现B贖的项可以全部忽略贻如果计算事件B贖发生了，那么所有出现B的项可以全部忽略如果我们定义向量x贽质P质A1贩;P质A2贩;


;P质An贩贩贻y贽质P质BjA1贩;P质BjA2贩;


;P质BjAn贩贩贻y贽质P质B贖jA1贩;P质B贖jA2贩;


;P质B贖jAn贩贩贮那么贝叶斯公式的计算可以用向量表示如下贺贲事件B已经发生

4、的情况下，事件Ai发生的概率更新为贺xi
yiP质Ai贩贽;i贽贱;贲;:::;n:hx
yi事件B贖已经发生的情况下，事件Ai发生的概率更新为贺xi
y贖iP质Ai贩贽hx
yi3意义赛贱贬走赡赧赥赳贲贰购贲贳赝在全概率公式和贝叶斯公式中，如果我们把事件B看成“结果”，而把事件A1;A2;


;An看成导致结果发生的可能“原因”，则可以形象的把全概率公式看成“由原因推结果”贻而贝叶斯公式恰好相反，其作用在于“由结果找原因”贮在贝叶斯公式中，称P质Ai贩为事件Ai的先验概率，称P质AijB贩为事件Ai的后验概率，贝叶斯公式是专

5、门用于计算后验概率的贮也就是说，在没有更多的信息质不知事件B是否发生贩的情况下，人们对诸事件Ai;A2;


;An发生的可能性有一个最初的认识贮当有了新的信息质知道事件B已经发生贩贬人们对Ai;A2;


;An发生的可能性大小就有了新的估计贮下面的例子很好的说明了这一点贮例3.1.伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有狼出没贮有一天，他闲得无聊在山上喊：“狼来了！狼来了！”，山下的村民闻声便去打狼，可是到了山上发现并没有狼贮第二天仍是如此贮第三天狼真的来了，可是无论小孩怎么叫喊，也没有人来救他，因为前两次他说了

6、谎，人们不再相信他了贮现在用贝叶斯公式来分析寓言中村民对这个小孩的可信程度是如何下降的贮首先记A贽f小孩说谎g贬B贽村民相信小孩的话质即小孩可信贩贮不妨设村民过去对这个小孩的印象为P质B贩贽贰:贸;P质B贖贩贽贰:贲，现在用贝叶斯公式来求P质BjA贩，即小孩说了一次谎后，村民对他可信程度的改变贮在贝叶斯公式中我们要用到概率P质AjB贩和P质AjB贖贩贬这两个概念的含义是：前者为“可信”的孩子说谎的可能性，后者为“不可信”的孩子说谎的可能性贮在此不妨设P质AjB贩贽贰:贱;P质AjB贖贩贽贰:贵:第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小

7、孩说了谎贮村民根据这个信息，对这个小孩的可信程度改变为质由贝叶斯公式贩P质B贩P质AjB贩P质BjA贩贽P质B贩P质AjB贩贫P质B贖贩P质AjB贖贩贰:贸贰:贱贽贽贰:贴贴贴;贰:贸贰:贱贫贰:贲贰:贵贳这表明村民上了一次当后，对这个小孩的可信程度由原来的贰:贸调整为贰:贴贴贴贬即P质B贩贽贰:贴贴贴;P质B贖贩贽贰:贵贵贶;在此基础上，我们再一次利用贝叶斯公式来计算P质BjA贩贬即小孩第二次说谎后，村民对他的可信度改变为贰:贴贴贴贰:贱P质BjA贩贽贽贰:贱贳贸;贰:贴贴贴贰:贱贫贰:贵贵贶这表明村民经过两次上当，对这

8、个小孩的可信程度由原来的贰:贸下降到了贰:贱贳贸贬如此低的可信度，村名们听到第三次呼叫时怎么会再上山打狼呢贮贝叶斯公式解释了一种直观的现象，一个说谎的人真的说谎了，他的可信度更低，一个被检测有病的人真的有病了，那么以后就对诊断结果会更