一道课本例题的有效变式

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1、(2011年第3期·初中版)·复习参考·44一道课本例题的有效变式430080武汉市青山区钢城十二中覃玉梅在中考数学复习中，要避免让学生去做大量繁而难的课本原题:人教版九年级数学第86页练习，重在解题方法指导和学生数学思维能力的提高．变例1如图1，⊙O的直径式教学能起到这样的功效，是培养学生思维能力，提高应AB为10cm，弦AC为6cm，变能力的一种有效的教与学的手段．从历年的中考试题来∠ACB的角平分线交⊙O于点看，绝大多数的题目源于教材，高于教材．因此，复习中老D，求BC，AD，BD的长．师应立足

2、于课本，精选课本中的典型例题、习题，充分运用解∵AB是直径，各种变式进行教学与训练，才能有效地引导学生探究并理∴∠ACB=∠ADB=90°，图1解知识点的实质，并能将所学知识进行延伸拓展．本文呈在Rt△ABC中，现一道例题的有效变式，供教学参考．BC=槡AB2－AC2=槡102－62=8(cm)．櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧这就意味着“动手操作”和“自主探索”问题在以后的中(2)当直线l与方形环的邻边相交时(如图5)，l分考命题中还会

3、频繁出现，应引起足够重视．别交AD，A'D'，D'C'，DC于M，M'，N'，N，l与DC的夹角3新定义型为α，你认为MM'与N'N还相等吗?若相等，说明理由;例3(益阳卷)我们把对称中心重合，四边分别平MM'若不相等，求出的值(用含α的三角函数表示)．N'N行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四解析(1)在方形环中，由M'E⊥AD，N'F⊥BC，周的宽度相等．AD∥BC，得M'E=N'F，∠M'EM=∠N'FN=90°，一条直线l与方形环的边线有四个交点M，M'，N'，∠EMM'=∠N'

4、NF，∴△MM'E≌△NN'F，N．小明在探究线段MM'与N'N的数量关系时，从点M'，∴MM'=N'N．N'向对边作垂线段ME'，N'F，利用三角形全等、相似及(2)∵∠NFN'=∠MEM'=90°，锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的∠FNN'=∠EM'M=α，思路解答下列问题:MM'M'E∴△NFN'∽△M'EM，∴=，N'NNFMM'N'Fsinα又∵M'E=N'F，∴==tanα(或)．N'NNFcosα当α=45°时，tanα=1，则MM'=N'N;当α≠45°时，tanα≠1

5、，则MM'≠N'N．图4图5点评所谓“新定义”问题，就是在试题中给出一个从未接触过的新概念，要求考生通过阅读后现学现用．(1)当直线l与方形环的对边相交时(如图4)，直线这类试题能比较有效地评价学生的数学思维水平及数l分别交AD，A'D'，B'C'，BC于M，M'，N'，N．小明发现学学习的应变和创新能力，值得关注．MM'与N'N相等，请你帮他说明理由;(收稿日期:20101224)·复习参考·(2011年第3期·初中版)45∵CD平分∠ACB，AC+BCAE+CE+CF－BF2CE∴===2．))C

6、ECECE∴AD=DB，AC－BCAE+CE－(CF－BF)==∴AD=BD，AEAE在Rt△ABD中，AE+CE－CF+BF2AE==2．222AEAEAD+BD=AB，解法2截长法22∴AD=BD=槡AB=槡×10=5槡2(cm)．分析因为题中有AC+BC，AC－BC即两条线段之22点评本题主要运用了弧、弦、圆心角的关系、圆周和、差的形式，一般采用截长补短的方法．角定理及推论和勾股定理．如图4，在线段AC上截取变式1计算题变为证明题，结论变为开放性线段CG=CB，连接DG．例2如图2，AB是⊙O的

7、∵CD平分∠ACB，直径，C点为半圆上的一点(AC∴∠ACD=∠BCD．＞BC)，∠ACB的角平分线交在△CGD和△CBD中，⊙O于点D，连接AD，BD，过D∵CG=CB，图4点作DE⊥AC，垂足为E，∠ACD=∠BCD，CD=CD，AC+BC图2∴△CGD≌△CBD，提问:(1)是否为定CE∴GD=BD．值，请证明你的结论;∵AD=BD，AC－BC(2)是否为定值，请证明你的结论．∴GD=AD，AE∵DE⊥AC，解法1∴AE=EG(等腰三角形三线合一)，分析由于题中有∠ACB的角平分线CD，且过点D

8、AC+BCAE+CE+CE－EG2CE作了∠ACB一边CA的垂线，想到角平分线的性质:角平∴===2，CECECE分线上的点到角两边的距离相等，所以添加辅助线，过AC－BCAE+CE－(CE－EG)=D点作∠ACB一边CB的垂线．AEAE如图3，过点D作DF⊥CB，=AE+CE－CE+EG=2AE=2．AEAE垂足为点F．解法3补短法∵CD平分∠ACB，))如图5，延长CB至点H，使∴AD=BD，∴AD=BD．CH=CA，过D点作DF⊥CB，垂∵DE⊥A