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《从数学史角度谈三棱锥体积公式的证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、#课外园地#数学通讯)2012年第6期(下半月)59从数学史角度谈三棱锥体积公式的证明程汉波杨春波(华中师范大学数学与统计学学院,430079)111众所周知,棱锥的体积公式为V=Sh,它的所以两个柱体的体积和为V1=Sh+Sh388背后隐藏着一段优美的探索历程和深刻的数学思想1=Sh.4方法:古希腊数学家欧几里得在其著作5几何原本6再对两个小三棱锥进行同样的分割,得到四个中研究过它;祖日恒原理的发现为其证明提供了新思11小三棱柱的体积和V2=2@SvAHGhD=2@@路;近代法国数学家勒让德也曾对它产生兴趣;微积44分工具的逐渐成熟使其证明变得简捷且更具
2、一般1S@1h=1Sh.4224性.本文从数学史的角度出发,首先给出伴随着数学,,发展历程所产生的三棱锥体积公式的若干证明,然如此对小三棱锥不断地剖分,当分割次数足够后利用其中的思维方法论证棱锥、圆锥和球面棱锥多时,可用所有三棱柱的体积之和近似原三棱锥的的体积公式.体积,于是1三棱锥体积公式的若干证明11111在三棱锥Ac-ABC中,设底面vABC的面积为V=(+2+3+,+n+,)Sh=/(1-44444111S,底面上的高为h,则三棱锥的体积V=Sh.)Sh=Sh.证毕.3431.1穷竭法穷竭法原理代表了西方数学对于无穷小的态穷竭法的产生归功于欧多克斯
3、比例理论的推度,阿基米德在求球的体积与表面积以及抛物线弓广,欧几里得首先利用穷竭法的思想推导出了三棱形面积的过程中,将穷竭法的思想表现得淋漓尽致,锥的体积公式(参见5几何原本6卷Ü,命题3和命题并将其发展到了充分成熟的地步.4),他把三棱锥剖分成两个小的三棱锥和两个棱柱,1.2剖分法具体的作法及证明如下.大约在1800年,勒让德利用/将三棱柱分割为证明如图1,在三三个三棱锥的剖分,其中两两具有相等的底面积和棱锥Ac-ABC中,连接各高0的结果,并结合/祖日恒原理0)))/幂势既同,则边相应的中点,将原三棱积不容异0给出了三棱锥的体积等于同底同高三棱锥分为两
4、个小三棱柱与两1柱体积的的另一个证明.在给出剖分法之前,我们3个小三棱锥,有先介绍一个引理.VDEF-GIC=SvGIC@引理等底面积等高的两个棱锥的体积相等.111hF=4S@2h=8Sh;图1证明设有任意两个棱锥,它们的底面积均为1111S,高均为h,体积分别为V1,V2.把这两个棱锥的VDGH-EIB=SGHBIhD=@S@h2222底面放在同一个平面A上,由于它们的高相等,故1=Sh,它们的顶点必同在一个与A平行的平面上,记为B,8则它们夹在两平行平面A与B之间.用平行于A的60数学通讯)2012年第6期(下半月)#课外园地#任意平面去截这两个锥体
5、,设截面面积分别为S1,1#Sh=Sh.证毕.3S1S2S2,截面和顶点的距离是h1,则易知==微分法的基本思想概括说来就是/分割,近似求SSh12和,取极限0,在科学技术中还有许多类似的问题,这(),所以S1=S2,由祖日恒原理知V1=V2.证毕.h也是定积分概念产生的实际背景.下面给出剖分法证明三棱锥体积公式的过程.1.4积分法证明如图2,以vABC为底面,AAc为侧棱作微积分问世于十七世纪,它能以快捷方式得到三棱柱ABC-AcBcCc,连接AcC,BcC,将三棱柱分割使用穷竭法得到的结果,还给出了去发现这些结果为三个小三棱锥,其体积分别为V1,V2,
6、V3.对于的一般方法,它的诞生为三棱锥体积公式的证明提三棱锥C-AcAB和C-AcBBc,有SvAcAB=SvAcBBc,供了新的强有力的工具.又由于它们有公共顶点C,故其高也相等,所以由引证明用平行于三棱锥底面的平面去截三棱理知V1=V2.同理可知V2=V3,则V1=V2=锥,设其与三棱锥顶点的距离为x,所得截面面积显1V3,V=V1=Sh.证毕.S(x)3然为x的函数,记为S(x),xI[0,h].易知S2hx2x=(),则S(x)=2S,于是V=QS(x)dx=hh0h2x1Q2Sdx=Sh.证毕.0h3积分法的关键是要建立截面面积函数,是求立体图形
7、体积的一般方法.图2在中国传统数学中,计算几何体体积的/阳马2证法的启示术0也有剖分法的思想.三棱锥体积公式的若干证法中蕴含着丰富深刻1.3微分法的数学思想,利用这些思想和方法除了可以解决上在求球的体积时,我们用平行于球的底面的平面提到的问题外,还可以发现与证明下面棱锥、圆锥面,把球切成一层层近似于圆柱形状的/薄圆片0,再和球面棱锥的体积公式.用小圆柱体的体积近似代替/薄圆片0的体积,它们2.1n棱锥和圆锥的体积公式的和就是球的体积的近似值.对于棱锥的体积,是否对于一个底面积为S,高为h的n(n3)棱可以使用同样的方法呢?于是便有了微分法,过程锥,可将其
8、底面分为n-2个三角形,则得到n-2如下:个三棱锥,设它们的底面积
