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《几何光学中光线的拉格朗日函数和动力学参量》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2002年12月渝西学院学报(自然科学版)Dec1,2002第1卷第4期JournalofWesternChongqingUniversity(NatureSciencesEdition)Vol11No14几何光学中光线的拉格朗日函数和动力学参量龙晓霞(渝西学院物理与电子信息工程系,重庆永川402168)[摘要]本文将几何光学中的费马原理和经典力学中的哈密顿原理进行类比,得到了几何光学中光线的拉格朗日函数,在此基础上,求得几何光学中光线的线动量、角动量、力和能量等动力学参量,并对这些动力学参量的特征作以分析。结果表明:几何光学与粒子力学具有相似性,利用这一相似性,可以建立与粒子
2、力学类似的几何光学中光线遵从的规律。[关键词]光线;拉格朗日函数;动力学参量[中图分类号]TU311[文献标识码]A[文章编号]1671—7538(2002)04—0020—04[1]几何光学与粒子力学具有相似性,不少文献都作了论述。物理学家得布罗意正是在这种相似性的启发下,提出了粒子波粒二象性的假设,进而建立了量子力学。已有作者对由几何光学到量子力学波动方程建立过程等问题作了分析和论述,但是,能否建立一套类于粒子力学的一套几何光学光线的动力学参量和运动规律,至今国内外研究甚少。实验观测表明:当光线紧靠巨大星体掠过时,光线会弯曲;光线在高温星体周围未被[2][3]磁化的等离子体
3、中也有弯曲现象,并且呈现开放的双曲线轨道或椭圆轨道。这些问题都不是传统的几何光学所能解释的。因此,有必要在进一步探讨几何光学与粒子力学相似性的基础上,研究几何光学中光线的动力学参量和遵从的规律,并由此探讨诸如光线弯曲等现象。为此,本文将探讨几何光学光线的动力学参量和遵从的规律,至于如何用此规律来解释上述光线弯曲现象,以后再作论述。1光线的拉格朗日函数和拉格朗日方程根据费马原理,实际光线总是沿着光程取极值的路径传播。因此,如果假设光线从一点ƒr(σ1)到另一点ƒr(σ2)(σ为轨道参量,如时间t),必然满足光程的变分为零的条件,即:σ2σ2dsδn(ƒr)ds=δn(ƒr)dσ=
4、0(1)∫σ1∫σ1dσ式中n(ƒr)是介质的折射率,ds是路程的微分222ds=dx1+dx2+dx3=dƒr(2)这里dx1、dx2、dx3分别代表oxy直角坐标系中的dx、dy、dz,并且xi=xI(t)是光线[收稿日期]2002—06—21[作者简介]龙晓霞(1965—),女,副教授,主要从事力学教学及研究。20到原点的位置坐标。根据经典力学中的哈密顿原理,质点运动的实际轨道应满足变分为零的条件,即:σ2δLdσ=0(3)∫σ1将(1)式和(2)式比较,我们可以认为几何光学的拉格朗日函数为Lopt=L(ƒr,v)=n(ƒr)v(4)这里速率v是这样定义的:ds222dx
5、iV==XÛ1+XÛ2+XÛ3,xi=,i=1、2、3⋯⋯(5)dσdσ从方程(4)中可以看出,几何光学中的拉格朗日函数只依赖于位置矢量ƒr和速率v,与速度的方向无关,且里面没有出现经典力学中拉格朗日函数里的动能和势能。定义了光学中的拉格朗日函数,可得光学中的拉格朗日方程为:d9Lopt9Lopt-=0(6)dσ9Ûxi9xi从上可以看出,几何光学和经典力学具有相似性,都存在对应的拉格朗日函数,遵从相同形式的拉格朗日方程。因此,在光学中也可以引入和力学中相对应的线动量、角动量、力和能量等概念。由于几何光学中的拉格朗日函数和经典力学中拉格朗日函数的差异,所以对应量的含义也不同。下
6、面就分别定义光学中的各物理量。2几何光学中光线的动力学参量2.1几何光学中光线的动量仿照经典力学中广义动量的定义,可定义几何光学中光线的线动量的分量为9LPi=(i=1、2、3)(7)9Ûxi比较(4)、(5)可得光线的线动量矢量为dƒr/dσdƒrˆPopt=n(ƒr)=n(ƒr)(8)ds/dσdsdƒr而dƒr=dsτ,τ是光线轨道切向方向的单位矢量,所以==τ,由(8)得到dsˆPopt=n(ƒr)τ(9)(9)式表明:几何光学中光线的动量矢量的大小等于介质的折射率,方向与该点切线方向相同。2.2几何光学中光线所受的力将(7)式代入拉格朗日方程,即(6)式可得到:dp1
7、9Ldp29Ldp39L=,=,=dσ9x1dσ9x2dσ9x3将上分量写成矢量形式得:dƒpopt=ΔLopt(10)dσ上式和经典力学中力的定义相类比可得:几何光学中光线所受的力为21ˆFopt(ƒr,v)=ΔLopt(11)上式表明作用于光线的力等于光学拉格朗日函数的梯度,且此力也依赖于速率和位置矢量。此式为光学拉格朗日方程的另一种形式。2.3几何光学种光线的势能函数(11)式中若定义一几何光学的势能函数为拉格朗日函数的负值,即:Vopt(ƒr,v)=-Lopt(ƒr,v)(12)则(
