工程结构可靠度计算的几何法

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1、《工程力学)增刊2001年.437·工程结构可靠度计算的几何法宋晓燕王铁成管海梅唐军务〔天沸大学土木工程系，天潭300072)(空军工捏设计研究局)(海军后幽学院)提要根据可靠度指标s的几何意义，提出了利用在标准正态空间寻优的方法来计算01避免了以往0计算中将功能函数线性化所带来的误差，为复杂结构的可旅度计算提供了高精度的方法:编制了MATLAB的计算程序，实现了求解0的计算机操作。4钟im拍可鑫度指标，标准正态空间，优化，几何法1引言工程结构的安全性，适用性和耐久性三者总称为结构的可靠性。度t可靠性的指标称为可靠度，可靠度定义为在规定的时间内和规

2、定的条件卞结构完成预定功能的概率，表示为Ps,失效概率为Pf=1-Ps·若结构的基本随机变量构成的随机向量为X=(X11Xx.⋯⋯X。)。相应的概率密度函数为f(x)此时随机向量表示的功能函数为Z=S(x)，则结构的失效概率表示为:PJ一P(Z<0)=ff(.)d.(1)其中，F={x19(X)<01表示结构的失效域。对于简单的结构功能函数，由数值积分法可以直接计算结构的失效概率，但实际的结构分析中随机变量的数目多，功能函数也可能为非线性的，比较复杂，因此直接通过数值积分计算结构的失效概率，目前来讲，在实际工程中是难以实现的。因此，引入了可靠性指标

3、p，0=P}10-}。该指标将工程结构的随机可靠度与各种随机性不确定信息的概率数字特征联系起来，从而推动了结构随机可靠度的工程应用。从此，结构随机可靠度分析的核心问题之一就是对p的计算。各种方法应运而生，如验算点法(JC法)、映射变换法、实用分析法等。以上方法属于可靠性计算的一次二阶矩法，该方法以其计算简便、在大多数情况下计算精度能满足工程应用要求而为工程界所接受。但在有些情况下，如结构功能函数在验算点附近的非线性程度较高时，由于一次二阶矩法把非线性功能函数在验算点处作一次展开，其计算结果与精确解相差过大。文宋晓燕，女，1976.4出生。工学硕士·

4、月38.‘工程力学》增刊2001年献5、6研究了结构可靠度的二次二阶矩方法(把非线性功能函数在验算点处作二次展开)，但计算复杂，不便应用。鉴于此，本文根据可靠度指标p的几何意义，提出了可靠性计算的几何法。Z可靠度计算的几何法已经证明，可靠度指标D的几何意义为:标准正态空间中，坐标原点到极限状态方程的最短距离。如图1所示:图I可书度计算几祠法示愈图求解0的过程实际是一个限定条件下的优化过程:了，、飞.目标函数为:F(X)=X*XT‘了矛j、.1J1限定条件为:9’(X)=O、其中X为标准正态空间的基本随机变量向量,B'(7{)为标准正态空间中的功能函

5、数。图z优化的目标函效优化的目标函数如图2所示，该函数为极限状态方程上的点到坐标原点的距离的平方。寻找到该函数的最小值，也就寻找到了极限状态方程到坐标原点的距离。由图3可以看出，目标函数存在唯一的极小值点。《工程力学》增刊2001年"439.下面给出非正态随机变量条件下，用几何法计算ii的步骤:(1)输入Xi(i=1,2,-0n)的统计参数fix,'17X.及分布类型，极限状态方程g(X,,X,，一X。)=()(2)假定基本随机变量X‘的设计验算点P'的坐标值Xi'(如取AIX)(3)对于非正态基本随机变量X;，根据X;’，由当量正态化方法求出Px

6、;’，O-x,’以代替X;一Alx’AIx,,(7x;，并由X,(i=1,2,A，的求出极限正态方程在标准正态空间坐标系中6厂的表达式:g'(X,*外’十产x,,X2*6xz'+Etxz',A,)fn中6x'+px')二0(7)用限定条件下的优化算法求1i，该过程的实现是通过调用MATLAB语言本身所带的优化工具箱(OptimizationToolbox)中的限定条件下的优化函数constr来实现的，初始点取为本次循环的标准正态化后的设计验算点X优化的目标函数为:tnxinX-X'限定条件为:g,(牙*ax,'+#x一，刃*Cxz'+f;xz',A

7、,Xn，6x‘十,ux')=0可靠度指标0=而nX.X'，并由求得的0求出X，由式子X’二X-Qx,+Px，将X*化为非正态空间的设计验算点X'a⑤判断是否满足g(X')<￡〔给定精度)，若满足则输出。而结束:若不满足则返回第三步继续计算，直至满足.本文采用高级科学计算语言MATLAB，根据以上步骤，编制了计算程序ike计算框图如下:开始输入随机变量X的均值，与方差。、类型，功能函数GN验算点赋初值X''u·440“‘工程力学s增刊2001年争目4可韶度计算的儿何法框图3算例下面给出文献[4]中的一个算例，在该文献中是用is法进行计算的，现在用本文

8、中的一一一—一一一(S1ft*)INPI2001—一一"441可靠度计算的几何法进行可靠度指标的计算，将计算结果进行比较;