整数和有理数

《整数和有理数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§5.3有序环整数和有理数考虑同时有代数结构和关系的一种数学结构，有序环。5.3.1定义有序环六元组称为一个有序环，如果R满足以下条件：(1)是交换环。(2)是全序结构。（记a£b且a¹b为a、、都是有序环。5.3.3定理

2、×,0,1,£>是有序环，则是整环。证证明消去律成立，即证明任给a,b,cÎR，如果ab=ac，则b=c。反证法。如果b¹c，则b是有序环。(1)任给a,bÎR，a

3、，则a=a-b+b<0+b=b。(2)如果a是有序环。(1)任给n,mÎN，如果n

4、，则-m1<-n1。(3)任给n,mÎZ，如果n是有序环。如果是的子环，则

5、S>是的子环。■5.3.7定理是有序环。令Rm={n1

6、nÎZ}，则(1)是子环。其中£m=£

7、

8、Rm(2)任给的子环

9、S>，都有RmÍS。(3)≌。■105.3.8定理是有序环。令R+={x

10、xÎR且0

11、果a,bÎR+，则0是环。SÍR。S称为R的正集合，如果S满足以下条件：(1)0ÏS，1ÎS。(2)如果a,bÎS，则a+bÎS。(3)如果a,bÎS，则abÎS。(4)如果aÏS且a¹0，则-aÎS。5.3.10定理是环，如果R存在正集合S，则存在R上的全序关系£，使得是有序环，并且R+=S。证定义R上的二元关系£如下：

12、a£b当且仅当存在xÎSÈ{0}，使得b=a+x。证明£是全序关系。(1)自返性任给a,bÎR，都有a=a+0，所以a£a。(2)反对称性任给a,bÎR，如果a£b且b£a，则存在x,yÎSÈ{0}，使得b=a+x且a=b+y，10所以b=a+x=b+y+x，由消去律得0=y+x，所以y+xÏS，由正集合的条件(2)得xÏS或yÏS，所以x=0或y=0，因此a=b。(3)传递性任给a,b,cÎR，如果a£b且b£c，则存在x,yÎSÈ{0}，使得b=a+x且c=b+y，所以存在x+yÎSÈ{0}，使得c=b+y=a+x

13、+y，因此a£c。(4)可比较性任给a,bÎR，由正集合的条件(4)得a-bÎSÈ{0}或-(a-b)ÎSÈ{0}，所以a-bÎSÈ{0}或b-aÎSÈ{0}，所以存在a-bÎSÈ{0}，使得a=b+(a-b)或存在b-aÎSÈ{0}，使得b=a+(b-a)，因此a£b或b£a。再证明£满足条件(3)和(4)条件(3)如果b