圆截面抗弯问题

《圆截面抗弯问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、圆截面抗弯问题的研究周莉（机电学院01016123）指导教师：隋允康摘要：本文研究了不规则截面的抗弯截面模量与面积的变化问题，试图在削减截面积的同时最大限度地避免对抗弯截面模量的影响，从而达到在保证结构刚度条件下节省材料的目的。结论是按照本文的削减方法，无法达到预期目的。但是此次研究的数据准确,可供其他研究者参考。关键词：惯性矩；惯性积；抗弯截面模量1引言圆形截面的结构经常在工程实际中被用于承担弯曲载荷，但其使用的材料较多，我们考虑在圆形截面上减去一部分面积，但使其对抗弯截面模量的影响不大。这样我们就可以用特定方式在某一范围内大量减少面积，从而达到减少用材而不影响力学性能的目的

2、。设A为圆形截面面积，Wz为其抗弯截面模量，A*为削减后截面面积，Wz*为削减后∗∗WzA抗弯截面模量，如果要求削减对抗弯截面模量的影响小于对面积的影响，则需>。WAz2理论论证2.1各圆内接情况y首先来研究图1情况，即用3个内接小圆代替外接大圆的Iz情况。小圆的直径为d。由于W=，而近似地认为y在zmaxymax削减前后没有变化，因此用Iz代替Wz分析。z2根据平行移轴公式I=I+aA和几何关系，我们很容易得zzc图1各圆内接444∗11πdπD(97+563)πd到I=，而圆形截面惯性矩为I==，zz64649×64则有：98π2∗∗3×dIz1116A43===51%==

3、=65%Iz(1+23)431AπD2(1+23)2343从而得到∗∗IzA<，说明用此种方法不行。IAz2.2各圆相交情况现在考虑使组成图形的3个圆相交的情况，相交部分的宽度为m，如图2所示。记各圆连心线组成的等边三角形边长为l=d−m。此图形直接求惯性矩较困难，可分成几个部分分别计算（如图3）。Y扇1Y扇1扇1βZ扇1αa1αm②③Zla2扇2扇3扇2扇3①Z三角1Y三角1图2各圆相交图3将图形分解d−mπ现在令α=arccosβ=−α，则有：d31)扇1的惯性矩：42rπ+β2rI=ydA=r(rsinθ)drdθ=[π+2β−sin2β]z扇1∫∫∫∫0−β842rπ+

4、β2rI=zdA=r(rcosθ)drdθ=[π+2β+sin2β]y扇1∫∫∫∫0−β8并且由轴对称性质有I=0zy扇12)扇2、扇3的惯性矩：I+II−Ir41z扇1y扇1z扇1y扇1I=+cos2γ−Isin2γ=(π+2β+sin2β)z扇2zy扇12282a其中γ=±1203)三角形①的惯性矩：994ll3l3I=(tgα)=tgαz三角1362288441llI=tgα=tgαy三角148296并且由轴对称性质有I=0zy三角14)三角形②、③的惯性矩：I+II−Il4tgαtg2αz三角1y三角1z三角1y三角1I=+cos2γ−Isin2γ=(−1)z三角2zy

5、三角1221289a其中γ=±120345)中间全等三角形的惯性矩：I=lz全等966)各部分面积：2d扇形：A=(π+2β)182(d−m)tgα三角形①、②、③：A=2423(d−m)中间等边三角形：A=34∗总面积：A=A+A+A1237)由几何关系知，削减后截面形心轴与中间的全等三角形形心轴以及大圆形心轴重合，联立以上式子并使用平行移轴公式可得任意m值的惯性矩：22∗()2a1()2a2Iz=Iz扇+aA+2Iz扇+A+Iz三角+aA+2Iz三角+A+Iz全等11122112222233+tgα其中a=l，

6、a=l12363数值试验∗∗IzAI计算困难，编程计算。令m从0变化到5，间隔0.1。观察与的变zIAz化。100表1计算结果（m、A、I的值）****mA/AI/ImA/AI/I00.6573080.5105362.60.8905770.8009450.10.6742810.5246142.70.8962340.8101970.20.6889960.5381792.80.9017660.8193530.30.7024210.5513952.90.9071870.8284170.40.7148890.56427630.9125030.8373810.50.726580.5769

7、3.10.9177140.8462510.60.7376380.5892753.20.9228240.8550310.70.7481480.6014183.30.9278060.8637250.80.7581710.613353.40.932710.8723340.90.7677610.625073.50.9375250.88084610.7769730.636613.60.942270.8892871.10.7858320.647973.70.9469210.8976491.20.7943