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1、11.二元一次方程的整数解作者德化一中颜墀策甲内容提要1.二元一次方程整数解存在的条件：在系数a、b、c都是整数的方程ax+by=c(简称整系数方程)中，如果a、b的最大公约数能整除c,那么方程有整数解.即：若（a，b）
2、c，则方程ax+by=c有整数解.显然当a、b互质时，方程一定有整数解.例如：方程3x+5y=1,5x－2y=7,9x+3y=6都有整数解.返过来也成立.即：若(a,b)不能整除c时，方程ax+by=c没有整数解.例如：方程9x+3y=10和4x－2y=1都没有整数解.∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，但2不
3、能整除1.一般地，我们在正整数集合里研究公约数，所以（a，b）中的a、b实为它们的绝对值.2.二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个.我们常引入整数k来表示它的通解（即所有的解），k叫做参变数.通常可用以下两种方法求得它的通解.方法一.整除法：如求方程5x+11y=1的整数解.1−11y1−y−10y1−y解：x===−2y，(1)5551−y设=k(k是整数），则y=1－5k，(2)5把（2）代入（1）得x=k－2(1－5k)=11k－2.⎧x=11k−2，∴原方程所有的整数解是⎨（k是整数）⎩y=1−5k.
4、⎧x=x0,方法二.公式法：设ax+by=c有一个整数解⎨y=y.⎩0⎧x=x0+bk,则它的通解是：⎨（x0,y0可用观察法求得）.y=y−ak.⎩03.求二元一次方程的正整数解：⎧x>0，方法一.先求出整数解的通解，再解不等式组⎨确定k值.⎩y>.0c−by方法二.用含一个未知数的代数式表示另一个未知数（如x=），求这个未知数的a29取值范围，再用观察法直接写出正整数解.乙例题例1.求方程5x－9y=18整数解的通解.18+9y15+10y+3−y3−y解法一：x===3+2y+.5553−y设=k（k为整数），则y=3－5k,代入得x=9
5、－9k.5⎧x=9−9k,∴原方程整数解是⎨（k为整数）.⎩y=3−5k.⎧x=,0解法二：当x=o时，y=－2，即方程有一个整数解⎨⎩y=−.2⎧x=0−9k,∴它的通解是⎨（k为整数）⎩y=−2−5k.从以上可知，整数解的通解的表达方式不是唯一的.例2.求方程5x+6y=100的正整数解.100−6yy解：方程5x+6y=100可化为x==20−y−，……(1)55y设=k(k为整数)，则y=5k.…(2)5把（2）代入（1）得x=20－6k，⎧x>0，⎧20−6k>0，20∵⎨即⎨解得0＜k<,∴k的整数解是1，2，3.⎩y>.0⎩5k>
6、.06⎧x=,8⎧x=,2⎧x=14,∴原方程的正整数解是⎨或⎨或⎨⎩y=10;⎩y=15;⎩y=5.例3.甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买这两种书各几本？解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得3x+5y=38（x、y都是正整数）.⎧x=,1⎧x=1+5k,∵⎨是一个整数解，∴它的通解是⎨（k为整数）⎩y=.7⎩y=7−3k.⎧1+5k>,017∵x、y都是正整数，得不等式组⎨解得−.05330∴整数k=0，1，2.把k=0，1，2代入通解，得⎧x=,1⎧x=,6⎧x=11,原方程所有的正整数解⎨或⎨或⎨⎩y
7、=;7⎩y=;4⎩y=.1答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本.例4.一项工程，甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天，a、b都是正整数，现在乙先工作3天后，甲、乙再共同工作1天恰好完工，则a+b的值等于＿＿或＿＿.（2000年希望杯邀请赛初二试题）41答：10或9.依题意，得+=1，去分母，得4a+b=ab,ab－b=4a，(a－1)b=4a,ba4a4(a−)4+44即b===4+，a−1a−1a−1∵a、b都是正整数，∴只有当a=2，3，5时，b分别等于8，6，5等式成立.丙练习111.求下列方程的整数解：①公式法：x+7
8、y=4，5x－11y=3；②整除法：3x+10y=1，11x+3y=4.2.求方程的正整数解：①5x+7y=87；②5x+3y=110.3.一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4.兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，这三人各几岁？5.下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿.（填编号）①4x＋2y=11,②10x－5y=70,③9x+3y=111,④18x－9y=98,⑤91x－13y=169,⑥120x+121
9、y=324.6.一张试巻有20道选择题，选对的每题得5分，选错时每题反扣2分，不答则得0分，小军同学得48分，他最多做对几题？7.用观察法写出方程3x
