一个代数恒等式与一类不等式的证明

《一个代数恒等式与一类不等式的证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、58数学通讯——20l0年第4期(上半月)·课外园地·一个代数恒等式与一类不等式的证明安振平(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心，712000)文[13的第218—219页上讨论了如下代数恒一方面，先证：等式：(z+)(Y+)(z+z)(口+b+c)(ab+bc十ca)一abc一(n+6)(6+c)(c+Ⅱ)(*)≥(v／x-l-y。++)。①这个涉及3个字母的对称型的代数恒等式是由2元均值不等式2~／n6≤a+b(口，b∈比较实用的，据此，可以证明一批国内外数学竞赛R十)，得里的不等式问题．(~／=再+、+『二F)。例1已知z，Y，z是正实数，且+3，z+搿一2(+Y+z)

2、+2~／(+)(+z)+一1，求证：2千干+2F(_z+)(Y+)(z+z)≥百8(z++z)．≤2(z+Y+z)+(z+3，)+(+z)+(十z)+(z+)+(z+z)+(z+)证明由三元均值不等式，得一6(z+Y+)，X+Y+z一(+Y+z)·(xy+yz+)从而，要证不等式①，只需证如下不等式就≥3．3一9xyz，行了．即zyz≤去(z+Y+z)，．(z+)(Y+z+z)≥6(z++z)．于是，由恒等式(*)，得这显然就是例1的变形，于是，不等式①(+)(+z)(+)成立．一(z+Y+z)(xy+yz+Z．X)一xyz另一方面，再证：一(z+Y+z)一xyz(v'％+y-1

3、-十)。≥6②≥(z+Y+z)一音(z+Y+z)由3元均值不等式、例1的结论和z+Y+z≥，得一芸(z++z)，(、++～)所以(z+)(Y+)(z+z)≥百8(z+Y+)．一2(x+Y+z)+2[、+例2(2006年土耳其国家队选拔考试题)已F干+、知正数X，Y，z满足xy+yz+盟一1，求证：≥2(+Y+)+2·3(z+Y++引—2(十+z)+6FF干≥(、而++、)≥6．证明其实，在例1的证明里，已经证明了≥2(+)十6√号(z++Y+≥9xyz．≥2+e同样易证明z+Y+≥√3．由例1和上面的2个不等式，就易证此题．一643-。事实上，即不等式②得证．·课外园地·数学通讯

4、——一2O1O年第4期(上半月)59综上知，所给不等式成立．而≤1+(寺)号，例3(1992年波兰一奥地利数学奥林匹克化简得++≤3题)设n，b，C为正实数，证明不等式：．2,,／—ab+bc—+ca≤．干而．例5(2004年中国国家队训练题)设口，b，C证明由3元均值不等式，易得为正实数，求证：(n+b+c)(ab+Ix：+m)≥9abc，从而，有半≥写亚(口+6)(6+c)(c+a)≥±±．一(n十b+f)(+bc+ca)一abc≥8abc，证明先证左边不等式，由3元均值不等式，即abc≤音(口+6)(6+c)(c+口)，得于是s(n+6)(6+c)(c+口)雩==：(口+b

5、+c)(ab+bc+Ca)一abc一3≥(Ⅱ+6+c)(a6++m)一言‘口+6)(6+c)(c+n)，≤十字十即(口+b+c)(ab+bc+ca)一n+b+C，所以，有≤-g’(n+6)(6+c)(c+口)·半≥，＼a／／—(a-—kb)(b厂+c)(c-ka)因为n+b+c≥干，所以，有再证右边不等式，利用恒等式(*)及不等式音(n+6)(6+c)(c+n)(口+b+c)(ab+bc+ca)≥9abc，得≥J3(ab+bc+ca)。，璺±垒鱼±!!±8故2~／—ab+／v—+oa≤·干而．一堡±垒±!±±=18例4(2005年罗马尼亚数学奥林匹克题)设≥吉[(口+6+c)(a

6、b+bc+ca)一1(口+6+a，b，c为正实数，且(。+6)(6+c)(c+n)一1，求c)(oh+bc+ca)]证：ab++ca≤}·一去(Ⅱ+b+f)(ab+bc+)．证明因为由柯西不等式易证(ahf)z：ab．6c．阳≤(ab+bc+ca)s．，．a+b+c≥~／+~／+eTd-，所以c≤(ab+bc+ca)号．ab+bc+≥(~／／+~／+v'Td-)。，(口+b+f)(ab+bc+)所以一(Ⅱ+6)(6+c)(c+n)+abc(a+6)(b+c)(c+n)8≤1+(等≥(++vTd-)。，而开立方，便得(口十b+f)(ab+十ca)。干而≥～万干_j_·(oh+bc+

7、m)8-一、F，≥—J~-if-Td-+4+e——————————————所以，有．60数学通讯——2O1O年第4期(上半月)·课外园地·综合以上，知所证不等式成立．(+y+)(xy+yz+搿)例6(第31届IMO预选题)设a，b，c为正≥1+F干．①实数，求证：注意到恒等式(*)，得(口+口6+b)(6++c)(c。+m+n。)(z+)(+z)(z+z)≥(Ⅱ6+bc+ca)。．一(z+y+)(xy+yz+zx)一1证明容易证明：于是，不等式①等价于口。+ab+b≥}(n+6)