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1、32数学通报2010年第49卷第4期在探究中回归数学的本源徐宝宏(江苏省兴化中学225700)1案例素材少个不同的向量呢?%苏教版数学选修2-3第10页第11题:以正方形的4个顶点中某一点为起点,另一个顶点师:我也是这么想的(顺势调节一下气氛),有为终点作向量,可以作出多少个不同的向量?!多少个呢?(声音有点变调,预显着编题容易解题(上面的!是问题!的简记.下同.)难.)2案例背景学生又是一阵画来画去,然后从密密麻麻的这道题是学生刚刚学完两个计数原理后的一向量堆里剔除相等重
2、复的向量,共14个,不少同道作业题,也可以看成苏教版数学必修4第60页学还因为看不清,多数或少数.但也就是在这样的第5题的后续题.必修教材中的原题是:如图,以寻找过程中,学生渐渐地感悟到剔除求解的不便,1∀3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量同时也隐约地萌生了一种新的求解策略.中,有多少种大小不同的模?有多少种不同的方师:作三个相邻的正方形(如图),又有多少个向?不同的向量呢?&让必修中的问题在选修中进一步上升,这是(又一次追问,又一次推广,逼得学生反思解与新课标的要求相符的,学生感悟数学的知识与法,
3、更新解法.)解决问题的能力呈螺旋式上升,既符合学生的认生1:我发现用先画出来再剔除掉的方法不知规律,也为学生探究能力的渗透和升华提供了是很好,对于&这个1∀3方格形中向量的个数,良好的素材和方向,有利于数学概念本源的重现、我是进行分类解决的:竖直向量有2个,水平向量创新的呈现和科学精神的形成.有6个,斜线向量有4+4+4=12个,总共20个.3探究实录师:刚才这位同学的解法是在我们原来枚举对于问题!,学生几乎毫无例外地采用了下剔除基础上的一次更新,他采用了分类计数与枚列解法:作出符合条件的向量,再剔除
4、部分相等重举相结合的策略,是在借鉴中的更新,在实践中的复的向量,如图:提炼,值得我们学习.我们能不能思考一下n个正方形相邻一字型排开(如图),又有多少个不同的向量呢?∋N=3∀4-4=8个,这种解法是与参考答案一致的.师:我们最近刚学过#推理与证明∃,同学们就(再一次的追问,再一次推广,是学生解题思此问题,能不能作一次推理?维的提升,解题方法的锤炼.)许多学生几乎没有作太多的考虑,甚至有点生2:我发现:当n=1时,N=8个;当n=2漫不经心:作两个相邻的正方形(如图),又有多时,N=14个;当n=3
5、时,N=20个,我想:当n=n时,N=6n+2个.2010年第49卷第4期数学通报33师:很好!这位同学能在类比推理的过程中,师:非常好!能把问题归结到O上,相当不采用归纳推理的方式,得出N=6n+2这一结论.错,事实上其他任意两点相连所得向量均可平移能从一种状态转换到另一种状态很不容易,他的到起点在O处或与之配对的向量处;同时这位同这种猜想正确吗?我们能不能用数学归纳法证明学能很好地区分出竖直线、水平线及斜线上所得呢?向量数目比例不一样,真的很清晰.这样我们就会生3:可以证明,当n
6、=1时,显然成立,假设n非常自然地知道下面的结论了.=k时f(k)=6k+2,则当n=k+1时,相当于在如图,以m∀n方格纸中所有格点两两相连,原来k个相邻的正方形右边又加上一个正方形,能有f(m,n)个不同向量,则此时竖直向量数目不变,水平向量增加2个,斜线f(m,n)=2m+2n+4mn)向量增加4个,所以f(k+1)=f(k)+2+4=6k+2+6=6(k+1)+2,即n=k+1时命题也成立,综上可知:f(n)=6n+2.生1:(想到用分类计数策略的那位同学迫不及待地回答)我是这样做的:竖直向
7、量2个,水平向量2n个,斜线向量4n个,共6n+2个.师:漂亮!这位同学仍然使用分类计数原理,快而简捷于演绎推理、证明出f(n)=6n+2.就这师:我们的探究由浅入深,已从一维走到二维,那样的一个计数问题,我们从问题求解的过程中,把么能不能走到三维空间呢?如果我们以m∀n∀归纳推理、类比推理、演绎推理充分地呈现出来,p个小正方体垒起一个长方体(如图),以其中的说明我们推理能力有了很大的进步.我们能不能两点相连,又有多少个不同的向量呢?∗再设计出新的问题呢?不少学生的探究热情高涨,比较集中的设计出如下的问
8、题:如图,两格点相连,有多少个不同的向量?(学生采用分类方法求解,都比较准确地求出师生共同探究:N=34个.(1)线上向量数目比例数为2:在点O的横线师:能不能比较清晰地表述自己求解的思路上水平向量有2n个;在点O的竖线上竖直向量呢?有2m个;在点O的纵线上水平向量有2p个.生4:如图,(2)面上向量数目比例数为4:在前面上斜线向量有4mn个;在底面上斜线向量有4np个;在右侧面上斜线向量有4mp个;(3)体上向量数目比例数为8:在点O与空
