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1、第39卷第9期数学的实践与认识Vol139No192009年5月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYMay,2009Moore-Penrose广义逆矩阵与线性方程组的解尹钊,贾尚晖(中央财经大学应用数学学院,北京100081)摘要:线性方程组的逆矩阵求解方法只使用于系数矩阵为可逆方阵,对于一般线性方程组可以应用Moore2Penrose广义逆矩阵来研究并表示其通解,本文主要探讨Moore2Penrose广义逆矩阵及一般线性方程组通解和最小范数解.关键词:Moore2Penrose条件;广义逆矩阵;线性方程组;最小范数解1引言广义逆矩阵的思想可追溯到1903年瑞典数学家
2、弗雷德霍姆EI的工作,他讨论了关于[1]积分算子的一种广义逆(称之为伪逆).1904年,德国数学家希尔伯特D在广义格林函数的讨论中,含蓄地提出了微分算子的广义逆.而任意矩阵广义逆的定义最早是由美国芝加哥的穆尔(Moore)EH教授在1920年提出来的,他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上.由于不知其用途,该理论几乎未被注意,这一概念在以后30年中没有多大发展.我国数学家曾远荣在1933年、美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼J和弟子默里FJ在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究.1951年瑞典人布耶尔哈梅尔A重新发现了穆尔(Moore)EH广义逆矩阵的定义,并注意到广义逆矩阵与线
3、性方程组的关系.1955[2]年,英国数学物理学家彭罗斯(PenroseR)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)EH等价的广义逆矩阵定义,因此通称为Moore2Penrose广义逆矩阵,从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段.现如今,Moore2Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用,使这一学科得到迅速发展,并[3]成为矩阵论的一个重要分支.2Moore-Penrose逆矩阵的定义m个方程n个未知量的线行方程组可以表示为Ax=b(1)其中,A为m×n型矩阵,b为m维向量,x为未知的n维向量.定义设A为任意m×n型矩
4、阵,称矩阵G是A的Moore2Penrose逆矩阵,若存在n×[425]m型矩阵G满足以下四个条件(常称Moore2Penrose条件):1)AGA=A2)GAG=GH3)GA为复共轭转置(Hermitian)矩阵,(GA)=GA收稿日期:2009201211基金项目:北京市高等学校教育教学改革立项项目(2006);中财121人才工程青年博士发展基金(QBZ0702)240数学的实践与认识39卷H4)AG为复共轭转置(Hermitian)矩阵,(AG)=AG中的全部或一部分,则称G为矩阵A的一个Moore2Penrose广义逆矩阵.按照定义,如果G{i}是满足第i个条件的广义逆矩阵,就记为A
5、,如果G是满足第i,j个条件的广义逆矩阵,就{i,j}{i,j,k}记为A,如果G是满足第i,j,k个条件的广义逆矩阵,就记为A,如果G是满足四个{1,2,3,4}{1,2,3,4}条件的广义逆矩阵,就记为A.除了A是唯一确定之外,其余各类广义逆矩阵都不是唯一确定的,每一类广义逆矩阵都包含着一类矩阵,为了表示这种情况,把满足前面所述相应条件的一切Moore2Penrose广义逆矩阵分别记为A{i},A{i,j},A{i,j,k}上述共有15类Moore2Penrose广义逆矩阵中,应用较多的是以下5种:-(a)A{1},其中任意一个固定广义逆矩阵记为A;-(b)A{1,2},其中任意一个固定
6、广义逆矩阵记为Ar;-(c)A{1,3},其中任意一个固定广义逆矩阵记为Am;-(d)A{1,4},其中任意一个固定广义逆矩阵记为Al;+{1,2,3,4}(e)A=A.+++++其中A满足全部四个条件,显然有A∈A{1},A∈A{1,2},A∈A{1,3},A∈A{1,4}.3用Moore-Penrose广义逆矩阵求解线性方程组求解线性方程组常用到Moore2Penrose广义逆矩阵的四种情形:-1)满足第一个Moore2Penrose条件,即AGA=A的广义逆矩阵G,记作A,称为矩阵A-的减号逆.对于任意矩阵A,减号逆A总存在,不唯一.它的求法也很多,最简单的是初等变换法,只要求得可逆矩
7、阵P、Q,使PAQ成为A的等价标准形式ErOA→PAQ=====B(2)OO中,r为矩阵A的秩R(A),Er为r阶单位矩阵,由此可以求得矩阵A的一个减号逆-TA=QBP(3)H2)满足第一个、第三个Moore2Penrose条件,即AGA=A、(GA)=GA的广义逆矩阵--G,记作Am,称为矩阵A的最小范数逆.对于任意矩阵A,最小范数逆Am总存在,不唯一,按照下式可以求得一个最小范数逆TT-1A(AA),当A
