圆周运动中加速度公式推导题

《圆周运动中加速度公式推导题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、圆周运动中的加速度公式推导题1、自然坐标系的定义v�切向轴：沿轨迹在该点的切向方向e�t单位矢量为et;eA,n法向轴：沿轨迹的法线并指向曲线凹侧，n单位矢量为en.O在自然坐标系中，速度��v=vet（1）图12、加速度公式推导［1］方法1��如图2所示，v(t)和v(t+∆t)分别为质点在B点和C点的速度矢量，作出速度的矢量三角形，在矢量�v(t+∆t)��v(t)�v(t+∆t)上截取一段，使其∆v∆s����CB�∆vnv(t)长度等于v(t),作矢量∆vn和∆vtr∆vt∆θ∆θ�Av(t+∆t)���Ox∆v=∆vn+∆vt��∆va=lim∆t→0

2、∆t图2��∆vn∆vt=lim+lim∆t→0∆t∆t→0∆t����=a+a=ae+ae（2）ntnntt�☆法向加速度：an如图2所示两个相似三角形，�∆vnBC=vr当∆t→0时，弦长BC和对应的弧长∆s相等，因此�∆v2nv⋅∆Sv∆Sva=lim=lim=lim=（3）n∆t→0∆t∆t→0r∆tr∆t→0∆tr���an的方向：当∆t→0时，∆θ→0,从而∆vn的方向趋向于垂直于速度v�的方向而指向圆心。因此an的方向在任何时刻都垂直于圆的切线方向而沿着半径而指向圆心，从而称之为法向加速度或向心加速度。�☆切向加速度：at∆vt∆vdva=lim=

3、lim=（4）t∆t→0∆t∆t→0∆tdt即等于速率的变化率。���由于∆t→0时，∆v和方向趋向于和v在同一直线上，从而a的方向也沿着轨道的切线方向。tt从而称之为切向加速度。讨论：①切向加速度表示质点速率变化的快慢。��②a为一代数量，可正可负。a>0表示速率随时间增大,这时a的方向与速度v的ttt��方向相同。a<0表示速率随时间减小,这时a的方向与速度v的方向相反。tt［2］方法2☆切向加速度��由：v=vet�v=v为速率。加速度为���dvdv�deta==e+v（5）tdtdtdt�式中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与e共线，称该项为切

4、向加速t度，记为�dv��a=e=ae（6）ttttdtdva=tdt关于切向加速度方向的讨论同上。☆法向加速度式（7）中，第二项是由质点运动方向改变引起的。�υ�eB,t+dtt�υ′dsA,tdθrO图3图1-8如图3，质点由A点运动到B点，有��⎧v→v'⎪��⎨et→e't⌢⎪⎩ds=AB����因为e⊥OA，e'⊥OB，所以e、e'夹角为dθ。tttt���de=e'−e（见图4）ttt��当dθ→0时，有de=edθ=dθ。tt����e因为de⊥e，所以de由A点指向圆心O，可有�ttttdet��de=dθedθtn�式（6）中第二项为：et′�

5、图42detdθ�vds�v�图1-9v=ve=e=ennndtdtrdtr方向讨论同上。2�v�a=e（7）nnr2va=（8）nyr�方法3v�et关于切向加速度的推导同方法2。A,t�en由图5θrOx☆法向加速度图5图1-7�⎛π⎞�⎛π⎞���et=−cos⎜−θ⎟i+sin⎜−θ⎟j=−sinθi+cosθj（9）⎝2⎠⎝2⎠���e==−cosθi−sinθj（10）n�det=−cosθdθi�−sinθdθ�j=−ωe�=−ve�（11）nndt�dtdtr2�detv�（12）a=v=etndtr方向讨论同上。总之，在圆周运动中，总加速度2�

6、����dv�v�a=a+a=ae+ae=e+e（13）tnttnntndtr大小：22222⎛dv⎞⎛v⎞a=at+an=⎜⎟+⎜⎜⎟⎟（14）⎝dt⎠⎝r⎠��方向：a与e夹角（见图6）t��aa（15）taθntgθ=atO�A,tan图6图1-10参考文献1、张三慧，《大学基础物理学》（第1版）（上册），清华大学出版社,P28-312、程守洙等《普通物理学》（第5版）（第1册），高等教育出版社,P18-21供稿人孙厚谦