奇数阶幻方通项公式的推导

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1、仑肥学统学报(自然科学版)JournalofHefeiUniversity(NaturalSciences)2009年8月第19卷第3期Aug．2009Vo1．19No．3-奇数阶幻方通项公式的推导汪潘义，张霞(1．合肥学院数学与物理系，合肥230601；2．河海大学商学院，南京210098)摘要：幻方的构造千变万化，而奇数阶幻方矩阵的构造更是多种多样，针对李尚志文献中给出的奇数阶幻方矩阵的一种独特构造，理论推导出这种构造的奇数阶幻方矩阵的通项公式，并给出了这种构造的特征．关键词：奇数阶；幻方矩阵；特征；通项公式中图分类号：O157文

2、献标识码：A文章编号：1673—162X(2009)03—0001—04幻方是最古老和最流行的数学游戏之一．一个n×n矩阵A的元素1，2，⋯，n，若其行和、列和、主对角1线和、次对角线和均等于÷n(n+1)，，则称A为n的幻方．文献[1]和[2]给出了偶数阶幻方矩阵的构造，文献[1]~[5]给出了奇数阶幻方矩阵的构造，文献[6]给出了任意阶幻方矩阵的构造，文献[7]研究了奇数阶幻方矩阵的一些性质，文献[8]研究了偶数阶幻方矩阵的一些奇妙性质，但无一例外都没有涉及到幻方矩阵的特征，通过对文献[1]给出的那种构造的奇数阶幻方矩阵的研究，得

3、出了奇数阶幻方矩阵的通项公式，并对这个公式进行了理论推导．’1奇数阶幻方矩阵特征Ⅱl⋯01n十1⋯n1．．2n+1●●●●●顺次连接幻方A川=0+】】⋯⋯0+J的中元素0+】、口，1、口2川l、口+l、．．2n+】●●●●●a2H+11⋯C／,2n+1n+1⋯Ct2n+12n+1．．．n+围城一个菱形．菱形(包括菱形四条边)中所有元素都是奇数，它的每行的几个元素按大小顺序构成一个以2n为公差的等差数列，若只有一个元素，则它是1或是(2rt+1)，每列的几个元素按大小顺序构成一个以2n+2为公差的等差数列，若只有一个元素，则它是2n+1

4、或是4+2n+1；它的边血ia川．。与a2n+l,n,+l口+的几个元素都分别构成以2n+1为首项以4n+2为公差的等差数列和以1为首项以+2为公差的等差数列，与这两条边平行的元素也构成以4n+2为公差的等差数列，若只有两个元素，则它们／1．1、2．1的差等于4n+2，若只有一个元素，则它是=2n+2n+1(此时n=1，即是3阶幻方的情．形)；边O'n+11a：与O'n+l2n+l0都分别构成以1为首项以2为公差的等差数列和以4n+2n+l为首．,,项以2为公差的等差数列，与这两条边平行的元素也构成以4n+2为公差的等差数列，若只有两

5、个元素，则／，’．1、2．1它们的差等于2，若只有一个元素，则它是十一=2n+2n+1(此时=1，即是3阶幻方的情形)．二菱形以外部分的所有元素都是偶数，它的行的几个元素按大小顺序也构成一个以2n为公差的等差数列，若只有两个元素，则它们的差等于2n；列的几个元素按大小顺序也构成一个以2n+2为公差的等差数列，收稿日期：2009—03—02修回日期：2009—06—15基金项目：教育部高校教学研究中心重点项目(FIB070335一A2—12)、安徽省教育厅教学研究重点项目(2008jyxm138)、安徽省教育厅自然科学重点基金项目(KJ

6、2008A140)、安徽省高校省级自然科学项目(KJ2009B245Z)、合肥学院自然科研基金项目(08KY022ZR)资助．作者简介：汪潘义(1970一)，男，安徽怀宁人，合肥学院数学与物理系讲师，河海大学商学院2008级博士研究生，研究方向：矩阵分析、预测与决策、风险投资；张霞(1972一)，女，安徽枞阳人，合肥学院数学与物理系教授，研究方向：代数编码理论．2合肥学院学报(自然科学版)第19卷若只有两个元素，则它们的差等于2n+2．即奇数阶幻方矩阵特征构造为：2凡+2n⋯4n4n+4n+12⋯2凡；；2n+2．·。2几+2n+32

7、n2+4n+32n+6n+3’．22n+12n+12n+2n+12n+4n+14n+2n+14n+4n’．2凡一2n一12n一12n+2n一1．·‘4几+2n2n+4n十2⋯4n+2n+214n+2⋯2n+2+22奇数阶幻方矩阵通项公式及其推导2．1矩阵+的构造1⋯9C1n+1⋯X1．，2n+1设2n+1阶矩阵+。为：⋯n十1．n+1⋯n+1．1n+1．2n+1X2n+1⋯X2n+1n+1⋯1．2n+1．2n+1．nr／,+1n+22n一12n0一3n一2n一1n一1n+l2n——22n——12n凡一4n一3n一2n一2n一1n2n．

8、32n一22n一1n一n一4一3●●●●●●●●●●●●●●●l23⋯nn+1n+22n．12n0012⋯n一1nn+12n——22n——12n2n0l⋯n一2n一1几2n—．32n．．22n一1●●●●●●●●●n+3