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1、heJoyofMathematics数学趣谈数学聊斋连载（连载四）李尚志异，方向各异，千姿百态，无一雷同。各只手的位置没有千手观音有多少只手规律，不可能按某种方式排列成先后顺序一只一只数清楚。——集合的元素个数传说清代时有个工匠被请来对千手观音“贴金”，他为了数清千手观音的手，贴完一只手就朝桶里扔一支重庆大足石刻是世界文化遗产。大足石刻有一尊千竹签。等所有的手臂都贴完了以后，再数一数竹签，一手观音。导游带领游客参观的时候会告诉你：这尊千手共有1007只。由此，千手观音1007只手的说法一直流观音一共有10
2、07只手。然后问：1007这个准确数字是传至今。怎样数出来的?【注：据有关媒体报道，2009年千手观音“大修”，只要你看了这尊观音，就知道要数清有多少只手并专家用248张高精度照片纠正拼接成了千手观音的高清不容易。观音的手如孔雀开屏般向各个方向伸出，长短各晰影像图，对每只手逐一编号，最后确认千手观音实际数学文化/第2卷第1期25heJoyofMathematics数学趣谈千手观音舞蹈上是829只手。也许专家确认的数字是正确的，但我仍如果用正整数集合N这把尺子去量某个集合S时，然认为，传说中工匠的方法既简单
3、又不容易出错。如果N的正整数始终用不完，S就是无穷集合。如果S是一1007只手的数字有误，那也是因为从来也没有认真地按个无穷序列a1,a2,v…,an,…，就可以依次将序列的各照这个方法操作一次。】项对应于正整数1,2,…,n,…。这样就将这个序列各项组成的集合与全体正整数的集合N建立了一一对应。集这个简单的办法包含了计数的基本思想：一一对应。合N中的元素有无穷多个，凡是与N能够建立一一对将观音的手与金箔一一对应起来，又与竹签一一对应起应的集合称为“可列集合”。可列集合是元素个数最少来，这样，手就与竹签一
4、样多。手不容易数清楚，竹签的无穷集合。却容易一支一支数清楚。数出了竹签有多少支，就知道了手有多少只。也许你会疑惑：怎么能说N是元素最少的无穷集合呢？假如将N中的奇数删去，剩下的全体正偶数组成一支一支数竹签的时候，又建立了另外一个对应：一个集合2N={2,4,6,…}，仍然是无穷集合，元素个将竹签依次与正整数1,2,3,…对应。数到最后一支竹数是N的一半，岂不是比N的元素更少了吗？签，发现它对应于正整数1007,这就将竹签的集合与从1到1007的正整数集合{1,2,…,1007}建立了一一对应，你可以认为全
5、体正偶数只占全体正整数的一半，但竹签个数也是1007。我们通常用尺子来量长度。类似地，是如果用N这把“标准尺子”去“度量”正偶数集合集合元素的多少也是用正整数集合N={1,2,…}这把“尺2N，将2,4,6,…依次与1,2,3,…对应，全体正偶数的子”量出来的。用这把“尺子”去量竹签集合，从1开集合2N与全体正整数的集合N就建立了一一对应，这始到1007正好将竹签量完，也就是说从N这把“长尺子”就说明集合2N与N所含的元素一样多，正偶数与正整截下“一小段”{1,…,1007}正好与竹签集合建立一一数一样多
6、！明明正偶数只占正整数的一半，居然又说它对应，竹签集合的元素个数就是1007。们一样多，岂不是自相矛盾？数学文化/第2卷第1期26heJoyofMathematics数学趣谈这种看起来矛盾的现象对于有限集合是不会发生正整数集合N+的一一对应，证明了有理数与正整数一的，只有对无穷集合才会发生。为了避免矛盾，我们规样多！定：只要能够有一种方法在两个集合A,B之间建立一一能否将全体实数也排成数列a1,a2,…,an,…,从而对应，就称两个集合的势相等。这里，“势”就是“元证明实数也与正整数一样多呢?素个数”的意
7、思。只要在A,B之间曾经建立一一对应，即使还可以将B中去掉一些元素之后再将剩下的元素与如果想出了一个办法将所有的实数排成无穷数列，就证明了实数与正整数一样多。反过来，即使全世界A建立一一对应，也不能说A的元素比B少，而仍然坚所有的人都没有找到这样的办法，也还不能就此断定持认为A,B的元素一样多。这样的办法不存在。万一来了一个外星人想出这样的我们已经看到无穷集合N的“一半”与N的元素办法呢？一样多。反过来,容易想到，N的“两倍”的元素也与不过我们可以用反证法证明：无论何时，无论何地，N一样多。容易看出,全体
8、正整数组成的集合N={1,2,…,谁也不能将全体实数排成一个数列!n,…}与全体负整数组成的集合-N={-1,-2,…,-n,…}可以建立一一对应，元素个数相等。因此，将N与-N合数轴上的点与实数一一对应。假如全体实数被排成并在一起得到的集合就是N的“两倍”，再添上0得到了一个数列a1,a2,…,an,…,数轴上全体点也就对应地的就是全体整数组成的集合Z，它的元素个数可以认为排成一个序列A1,A2,…,An,…。预先任意取定一
