巧用曲率半径求解拱点速度

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1、VoI．35No。11物理教师第35卷第11期(2014)PHYSICSTEACHER2014正巧用曲率半径求解拱点速度金彪(浙江省春晖中学，浙江绍兴312353)开普勒定律告诉我们，每一个行星都沿各自的椭圆轨E一一GMmⅣ．．，道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中．我们先求“、、椭圆拱点的曲率半径．设平面直角坐标系中，有一动点的式中M为地球质量，G为引力Dx＼位置坐标为常量．I——一z—acoso)t，bsinwt．(1)假定地球没有自转，求C可以证明该动点的运动轨迹为椭圆，求导可以得到该点的最小发射速度的大小和方向卜—／

2、速度为(用速度方向与从地心0到发射点C的连线之间的夹角dxdcoswt．一面一“‘一一’表示)．图l(2)若考虑地球的自转，则=鲁一b·百dsinwt—bwc￡．最小发射速度的大小为多少?再一次求导，可得到该点的加速度为(3)试导出E一一GMmdvdsin~t。．以一一一“(￡，。—一一n甜c0s’在这里不讨论(1)、(2)两小题的求解，直接看第3小n一一boo．丁dcoscot一一‘一～60(c，2sim￡．·题，我们可以这样解．解析：根据上面(3)式，可得洲际导弹在近地点的动能在0时刻，动点位于拱点(n，O)，此时速度为大小

3、为一-awsir~t=0，Vy一如cos￡6∞．一1，1GM(n+c)加速度为E一矿一m‘以一一口(tJ2COSo)t一一n(￡，，n=一％。sinwt：0．同时可以求得势能大小为由此可求得该点上椭圆的曲率半径为GMmF～一一一(n—c)‘lnln0．‘(⋯1)则当某一天体绕中心天体做椭圆运动时，近心点离引力中心的距离为R一a—C(c为椭圆半焦距，且有C一n一E=E一÷一一G．b)，万有引力产生的加速度为例2．(第17届复赛第4题)宇宙飞行器和小行星都绕一一—太阳在同一平面内做圆周运动，飞行器的质量比小行星的“R(n—c)．’(

4、⋯2)质量小得很多，飞行器的速率为720，小行星的轨道半径为则由向心力公式可得此时绕行天体的瞬时速度为飞行器轨道半径的6倍．有人企图借助飞行器与小行星的广碰撞使飞行器飞出太阳系，于是他便设计了如下方案：、／a1P^√(a—c)。(3)I．当飞行器在其圆周轨道的适当位置时，突然点燃／GM(Ⅱ。一f)／aM(a+f)飞行器上的喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动，＼／—二一，＼／i‘机，以使飞行器获得所需的速度，沿圆周轨道的切线方向当绕行天体在远心点时，绕行天体离引力中心的距离离开圆轨道；为R。一n+f，同理可得绕行天体在远心点的

5、速率满足Ⅱ．飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前／GMb／GM(a—c)，＼／(n+c)口，＼／(口+c)a‘(4)缘，速度的方向和小行星在该处速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；上面(3)、(4)两式为绕行天体在近、远2个拱点的瞬Ⅲ．小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰，不计燃烧的时速度与中心天体质量、半长轴、半焦距的关系式．下面我燃料质量．们就用此解几个竞赛题．(1)试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太例1．(第23届预赛第9题)如图1，从赤道上的c点发阳系；射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的(2)设在上

6、述方案中，飞行器从发动机取得的能量为能量最少．假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球E．如果不采取上述方案而是令飞行器在圆轨道上突然点体，R一6400km．已知质量为m的物体在地球引力作用下燃喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞做椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴n的关系为一52一第35卷第11期物理教师Vol_35NO．112014正PHYSICSTEACHER(2O14)行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能一z+÷02_万Vo2-o．直接飞出太阳系．采用这种办法时，飞行器从发动机取得上面的方程看起来很恐

7、怖，让人觉得很难解，但只要的能量的最小值用Ez表示，问为多少?解析：(1)根据题意，设太阳质量为Mo，飞行器加速前记住碰撞前飞行器的速度一√就是该方程另一个速率为解，而且是不合题意的解，则该方程可以这样求解：7d0一^、／]一+÷z一U—一一飞行器喷火加速后，其轨道即变成长轴为2a一7R，焦／1一距为2c一5R，短轴为26一～=一=一的椭圆．现以太阳中心为原点，太阳中心指向飞行器加速一f43＼)位置为轴正方向建立直角坐标系，可得飞行器的轨道方即可得到飞行器与小行星碰撞后的速率为程为一(35R+丽35R5R一1．(5)去(一)c．

8、)。(．)一(2．)‘⋯由(3)、(4)两式可以求得飞行器在近日点与远日点的现在判断飞行器在这个速度下能不能飞出太阳系．假速度分别为设飞行器不能飞出太阳系，则其近日点速度与轨道半长轴、半焦距的关系依然满足(3)式，即，一^、／／G—M0二(n+c)一／GMo(二