积分上限函数及其导数

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1、§2微积分学基本定理1、积分上限函数及其导数定义1：设f(x)在[a,b]上可积，则对x[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，x于是，由(x)f(t)dt，x[a,b]定义了一个以积分上限x为自变量的函ab数，称为变上限函数；(x)f(t)dt，x[a,b]称为变下限的函数；(x)x和(x)统称为变限函数。x定理1若函数f(x)在[a,b]上可积，则变上限函数(x)f(t)dt在[a,b]上a连续。定理2（原函数存在定理）：若函数f(x)在[a,b]上连续，则变上限函数xdx(x)f(t)dt

2、在[a,b]上可微，且(x)af(t)dtf(x)，x[a,b]adx证：x[a,b]，任取x0，且xx[a,b]，则xxx(xx)(x)ft)(tdft)(tdaa由积分中值定理知，存在介于x与x+x之间，使得f()x，由于x0x，再由导数定义及f(x)的连续性知(x)limlimf()limf()f(x).x0xx0x推论：()x；()x((ftdt))(f(x))(x)(f())tdtf(()

3、)x()xf(())x()xa()x2dt例1设f(x)sinx1t2，求f(6)例2xdsintdtdt0x例3sin2t0lim3x0x2、Newton—Leibniz公式定理3（Newton—Leibniz公式）：如果函数F(x)是连续函数f(x)在区b间a,b上的一个原函数，则f(x)dxF(b)F(a).ax证：因为(x)af(t)td是f(x)的一个原函数，则F(x)(x)C，令xa，x有F(a)(a)C，又(a)0，因此，CF(a)，所以f(t)dt

4、F(x)F(a).a注：在实际应用中，定理的条件可以减弱为：F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，Fx()f()x，x(,ab)，而f(x)在[a,b]上可积。例412xdx0例53dx21x1x0ft(t)dt例6设f(x)在[0，+∞]内连续，且f(x)0，求证函数F(x)x在0f(t)dt[0，+∞]内为单调增加函数。3、小结在应用Newton—Leibniz公式时，要求被积函数在积分区域上连续，否则会出问题：例如2，就不能用Newton—Leibniz公式。1dxx2