函数最小正周期的机器证明

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1、上海中学数学·2012年第4期函数最小正周期的机器证明324002浙江省衢州市教育局教研室李世杰324000浙江省衢州一中李盛周期函数是中学数学教学的一块重要内一个周期区间[0，丁]上，函数，(z)的图像至少容，也是一个教学难点，特别是在讨论函数的周可以再均分为等份．若函数，()的图像不能期性时，人们常有这样的感觉：要检验一个正数再均分，则：1，即函数，()的最小正周期为是周期函数的周期，也许并不太难；但要进一步T一T；若函数．厂()的图像最多只能均分为证明这个正数是此函数的最小正周期，推理运一T一(n≥2)等份，则lL0，÷I就是最小的周期区间，即算的过程往往非常繁杂．即

2、使一些看似较简单T函数的最小正周期，有时用纯代数方法也很难函数．厂()的最小正周期为T一÷．甚至无法给出完美的证明．笔者利用数学软件，f几何画板强大的图形和图像功能，给出一种依例1求函数，(-z)一lsinx+COSCOSCOSX1的最小正周期．靠软件的“机器”证法．这种方法主要依据如下解：所给函数定义域是实数集R．容易验结论：定理若周期函数，()定义在实数集R证：厂(+2丌)一Isin(+2)+COSCOSCOS(+上，有最小正周期T，则．厂(z)的任何周期丁一2u)l—Isinx+COSCOSCOSXl一，()，说明2丌是函数f()的一个周期．再利用几何画板画出函定是丁

3、的整数倍，即存在”(∈Z，nO=0)，使T—T／丁．数-厂()的图像：证明：如果正周期丁不是丁的正整数倍，由带余除法可得T=7zT+r(其中0

4、数最推论若周期函数厂(．z)定义在实数集R小正周期这种借助计算机软件证明(简称机器证明)的步骤：上，有正周期丁，如果在一个周期区间[0，刀上，函数厂()的图像不能再均分，则函数厂()的最1．确定函数，()的定义域是实数集R(此小正周期为T一丁；如果函数．厂(z)的图像最多条件可减弱为定义域关于某一点对称)；能均分为n(≥2)等份，则函数厂()的最小正2．猜测并检验正数T是函数f(z)的一个T周期；周期为T一．订3．利用几何画板软件画出函数厂()的图证明：对函数．厂()的最小正周期T和正像；周期T，根据定理，有丁=nT(∈N)，因此在4．观察在一个周期区间[O，丁]上函数，(

5、)到的知识面要宽、思想方法要多；②问题要具有是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也层次性，可供不同水平学生作不同层次的研究；最容易掌握其内在规律、性质和联系”．所以教③问题要具有开放性，研究的过程和结果要丰师要充分相信学生，要敢于放手，教学实践说富多彩；④问题要具有沿展性，可供学生发现新明，学生有无法想象的创造力，也许有的学生没问题作进一步的研究．能探究出什么，也许有的学生探究出的结果是3．要放手让学生去自主探究、去体验错的，但是学生所经历的探究过程和获得的情波利亚说过，“学习任何知识的最佳途径都感体验是最大的收获!32上海中学数学·2012年第4期的图像，若函数厂()

6、的图像不能再均分，则函解：所给函数定义域是实数集R．容易验数厂()的最小正周期为T；如果函数，()的图证：，(+2丌)一sin“(z+2盯)+COS。(+2丌)像最多还能均分为等份，则根据定理推论，函一sin。+COS。一厂()，说明2是函数-厂()T的一个周期．利用几何画板画出函数，()的数厂()的最小正周期为二．1L图像：这四个步骤，缺一不可．第一步，检验函数的定义域是为了保证定理成立的先决条件；第二步，证明T是一个正周期后，就化无限为有限，研究函数的周期性，只要局限在一个周期区观察函数_厂()在一个周期区间[0，2丌]上间[O，丁]内就可以了，因为周期函数的整体性的图

7、像，已不能再均分，根据定理推论，函数质，无非是它在周期内的性质进行周期延拓的厂()的最小正周期为2．结果；第三步，是机器证明的关键，利用几何画注：函数，()在很多点的取值非常接近于板软件能为我们快速提供函数的局部图像；第零，所以在图像上就很难区分，看起来就好像与四步，得出结论．X轴重合了，但这并不影响我们对函数周期性下面再举数例加以说明，这些例子用常规的判断．方法求解是非常困难的：例5求函数g()一2sin。(x+1)+例2求下列函数的最小正周期：(1)f()=lsinsinx+COSCOSCOSXI；(2)3si