平面任意力系的平衡条件和平衡方程

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1、理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程8/10/20211理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程一、平面任意力系平衡的必要和充分条件二、关于平面任意力系的例题三、平面任意力系平衡方程的其他形式四、平面平行力系8/10/20212理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程一、平面任意力系平衡的必要和充分条件8/10/20213理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程1．平面任意力系的充分条件现在讨论静力学中最重要的情形，即平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形（3-6）8/10/20214理论力学3-2平面任意力系的平

2、衡条件和平衡方程显然，主矢等于零，表明作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系；主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必为平衡力系。因此，式（3-6）为平面任意力系的充分条件。8/10/20215理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程2．平面任意力系平衡的必要条件由上一节分析结果可见：若主矢和主矩有一个不等于零，则力系应简化为合力或合力偶；若主矢与主矩都不等于零时，可进一步简化为一个合力。上述情况下力系都不能平衡，只有当主矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，因此，式（3-6）又是平面任意力系平衡的必要条件。8/10/20216理论力学3-2平面任意力系的平衡条

3、件和平衡方程3．平面任意力系平衡的必要和充分条件于是，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。这些平衡条件可用解析式表示。8/10/20217理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程将式（3-2）和（3-3）代入式（3-6），可得（3-7）8/10/20218理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程结论:平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。式（3-7）称为平面任意力系的平衡方程（为便于书写，下标i可略去）。8/10/20219理论力学3-2

4、平面任意力系的平衡条件和平衡方程二、关于平面任意力系的例题8/10/202110理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程例3-2起重机P1=10kN，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂钩上挂一重为P2=40kN的重物，如图3-6所示。起重机的重心C到转动轴的距离为1.5m，其他尺寸如图所示。求在止推轴承A和轴承B处的约束力。8/10/202111理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程图3-68/10/202112理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程解：（1）以起重机为研究对象以起重机为研究对象，它所受的主动力有P1和P2。由于对称性，约束力和主动力都位于

5、同一平面内。止推轴承A处有两个约束力FAx，FAy，轴承B处只有一个与转动轴垂直的约束力FB，约束力方向如图3-6所示。8/10/202113理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（2）列平衡方程取坐标系如图3-6所示，列平面任意力系的平衡方程，即8/10/202114理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（3）求解方程求解以上方程，得FB为负值，说明它的方向与假设的方向相反，即应指向左。8/10/202115理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程例3-3图3-7所示的水平梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一滚动支座。梁的长为4a，梁重P，作用在梁的

6、中点C。在梁的AC段上受均布载荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M=Pa。试求A和B处的支座约束力。8/10/202116理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程图3-78/10/202117理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程解：（1）选梁AB为研究对象梁AB所受的主动力有：均布载荷q，重力P和矩为M的力偶。梁AB所受的约束力有：铰链A的两个分力Fax和FAy，滚动支座B处铅直向上的约束力FB。8/10/202118理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（2）列平衡方程取坐标系如图3-7所示，列出平衡方程：8/10/202119理论力学3-

7、2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（3）解方程解上述方程，得8/10/202120理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程例3-4自重为P=100kN的T字型刚架ABD，置于铅垂面内，载荷如图3-8a所示。其中M=20kN·m，F=400kN，q=20kN/m，l=1m。试求固定端A的约束力。8/10/202121理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程图3-8a8/10/202122理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程解：（1）取T字形钢架ABD为研究对象钢架ABD上除主动力外，还受有固定端