平面向量垂直与平行的应用

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1、县五中高三数学第一轮复习平面向量垂直与平行的应用[热点分析]平面向量的数量积是每年高考必考的内容,也是高考的热点之一.试题多以选择题或填空题形式出现,主要考查数量的定义、运算律、性质,同时也考查向量平行、垂直及夹角、距离问题.平面向量与解析几何、函数、三角函数等相结合的题目屡见不鲜,而2011年四川高考试题中第12题更是将平面向量数量积与概率知识融合,命题新颖,是高考命题的一个新方向.(2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)·(ka-b)=0,即ka2+(2k-1)a·b-2b2=16k-16(2k-1)-

2、2×64=0.解得k=-7.即k=-7时,两向量垂直.[小结]非零向量a⊥b⇔a·b=0是非常重要的性质,它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.[例4]设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求

3、b+c

4、的最大值;(3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.解:(1)由a与b-2c垂直,a·(b-2c)=a·

5、b-2a·c=0,即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,tan(α+β)=2;[小结]平面向量与三角的整合,是高考命题的热点之一,它一般是根据向量的运算性质(如数量积)将向量特征转化为三角问题,三角问题是考查的主体,平面向量是载体.再现高考:小题练习:2.已知两个不共线的向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则以下四个结论中正确的有________.(填序号)①(a+b)⊥(a-b)②a与b的夹角为α-β③

6、a+b

7、<2④a与b在a+b方向上的投影相等.3.(2011·辽宁高考)若a,b

8、,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则

9、a+b-c

10、的最大值为()A.-1B.1C.D.2

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