空间向量的应用-证明平行与垂直

《空间向量的应用-证明平行与垂直》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、(2)直线与平面平行的判定方法：①如果平面α外的直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，则.②如果平面α外的直线a的方向向量为a，e1、e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则a＝.a·n＝0⇔a∥αλ1e1＋λ2e2⇔a∥α(3)平面与平面平行的判定方法；①α，β是两个不重合的两个平面，m，n是平面α的一组基向量，m∥β，n∥β⇔α∥β②如果不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则.③设两个不重合的平面α、β，若平面α的法向量为n，则.n1＝λn2⇔α∥βn⊥β⇔α∥β2．利用向量的知识判定

2、线面垂直的方法(1)直线与直线垂直的判定方法：如果不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b，则.(2)直线与平面垂直的判定方法：①如果直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，则.a·b＝0⇔a⊥ba＝λn⇔a⊥α②如果直线a的方向向量为a，e1、e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则.(3)平面与平面垂直的判定方法：①如果不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则.②设平面α的法向量为n，e1、e2是平面β的一组基底(不共线的向量)，则.a·e1＝0且a·e2＝0⇔a⊥αn1·n2＝0⇔α

3、⊥βn＝λ1e1＋λ2e2⇔α⊥β科目一考试网http://www.kmyks.com/科目一模拟考试2016科目四考试网http://www.km4ks.com/科目四模拟考试驾校一点通365网http://www.jxedt365.com/驾校一点通2016科目一科目四驾驶员理论考试网http://www.jsyllks.com/2016科目一考试科目四考试1．在空间直角坐标系o－xyz中，过点E(－2,1，－2)且与平面xoz平行的直线l交平面yoz于点P，则点P的坐标为()A．(0,1，－2)B

4、．(－2,0，－2)C．(－2,1,0)D．(－4,0，－1)[解析]过点E且平面xoz平行的直线交平面yoz于点P，则P的横坐标为0，纵坐标与竖坐标与E点相同．[答案]A[解析]b＝8a，a∥b，故α1∥α2[答案]平等如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证MN∥平面A1BD.[分析](1)可以建立空间直角坐标系，用向量坐标法来解决．(2)可以用共线向量或共面向量证明．[点评与警示]证明线面平行可以用几何法，也可以用向量法．用向量法的关键在于构造向量并用共

5、线向量定理或共面向量定理．若能建立空间直角坐标系，其证法更为灵活方便．(人教A版选修21，P118例4改编)如图1所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.证明：PA∥平面EDB.[证明]方法一：如图2所示，连接AC，AC交BD于O.连接EO.因为底面ABCD是正方形，所以点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO.而EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB.所以，PA∥平面EDB.如图，在四棱锥PABCD中

6、，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.[证明]如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC＝a.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)证明AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)证明面AED⊥面A1FD1.(3)由(1)知AD⊥D1F，由(2)知AE⊥D1F，又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED.又因为D1F⊂面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.[点评与警示]用空间坐标运算证明“

7、面面垂直”，一般先求出其中一个平面的一个法向量，然后证明它垂直于另一个平面的法向量．因为本例有(1)、(2)作铺垫，所以直接利用其结果便可．在正方形ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面ADE.(1)[证明]建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝

8、∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.[分析]空间中各元素的位置关系和数量关系的核心是线与线的关系，线与线的关系完全可以用数量关系来表示，从而为向量在立体几何中的应用奠定了坚实的基础．考虑到平面PBC⊥平面ABCD及PC＝PB，故可取BC的中点O为原点，OP为z轴，OB为x轴．[证明](1)取BC的中点O，∵平面PBC⊥平