近世代数课件--4.3.主理想环

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1、§3.主理想环3.1定义3.2两个有趣的引理3.3主要定理要知道一个整环是不是一个唯一分解铪不是一件容易的事，因为要测验唯一分解定义里的条件（ⅰ），（ⅱ）或是（Ⅳ），2，定理2里的条件（ⅰ），（ⅲ）能否被满足，一般是非常困难的。以下我们要认识几种特殊的唯一分解环，使得我们在解决以上问题时可以有一点帮助。3.1定义第一种是主理想环。定义一个环叫做一个主理想环，假如的没个理想都是主理想。3.2两个有趣的引理本节证明,一个主理想环一定是一个唯一分解环。为证明这一点，我们需要两个引理。这两个引理本身也是很重要。例1环R的理想升链:的并是理想例2在

2、整环中,(2)是相伴元(1)引理1假定是一个主理想环，若在序列中每一个元是前面一个真因子，那么这个序列一定是一个有限序列,也就是说,一定存在,使得不是的真因子。证明构造主理想由于是的因子，显然我们看这些理想的并集,是R的一个理想(例1)。由于R是主理想环，一定是一个主理想：。这个d属于，所以也属于某一个。我们将证明，这个一定是我们要求的元。首先,=可以得到于是其次,已知条件这样和是相伴元。证完。引理2假定R是一个主理想环，那么R的一个素元生成一个最大理想。证明假定是满足条件的理想:由于R是主理想环，我们有因而是的因子。但是素元，所以不是的

3、相伴元，就是单位。如果是的相伴元,如果是单位,证完3.3主要定理现在我们证明定理一个主理想环R是一个唯一分解环。证明我们使用第二阶的定理2（ⅰ）R的每一个既不是零也不是单位的元都有一个分解(反证法)我们看R的一个不是零也不是单位的元,假定不能写成有限个素元的乘积，那么不会是一个素元，那么b和c都是的真因子。的这两个真因子之中至少有一不能写成素元的乘积，不然的话就会是素元的乘积，与假定冲突。我们得到了结论：假如一个元没有分解，那么一定有一个真因子,也没有分解。这样，在元没有分解的假定之下，我们会得到一个无穷序列在这个序列里每一个元前面一个真

4、因子,与引理1矛盾,这是不可能的，所以一定有分解。（ⅲ）R的一个素元若能整除，那么能整除或。假定R的素元能够整除,那么这就是说在剩余类环里，依照引理2，是最大理想，因此依照第三章，9，定理，是一个域。因为域没有零因子，上边的式子告诉我们这就是说这样证完作业P138:1,2