铸造学07讲铸件凝固温度场

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1、铸件凝固温度场及其凝固数值模拟概论北京科技大学钢铁冶金系张家泉提纲凝固传热基本原理热传导过程的偏微分方程凝固温度场的求解方法1）数学解析法2）数值模拟法2）铸件凝固时间3）凝固数值模拟应用举例凝固传热基本原理一）温度场基本概念稳定温度场：不随时间而变的温度场（即温度只是坐标的函数），其表达式为：T=f(x,y,z)不稳定温度场：温度场不仅在空间上变化，并且也随时间变化的温度场——铸件凝固多属于带相变热释放与冷却传热的非稳态温度场问题。T=f(x,y,z,t)等温面：空间具有相同温度点的组合面。等温线：某个特殊平面与等温面相截的交线。温度梯度（gradT）：对于一定温

2、度场，沿等温面或等温线某法线方向的温度变化率。温度梯度越大，图形上反映为等温面（或等温线）越密集。热传导过程的偏微分方程三维傅里叶热传导微分方程为：式中:——导温系数，——拉普拉斯运算符号。二维传热：一维传热：上述微分方程式是传热学理论中的最基本公式，适合于包括铸造、焊接过程在内的所有热传导问题的数学描述，但在对具体热场进行求解时，除了上述微分方程外，还要根据具体问题给出导热体的初始条件与边界条件。此外思考，凝固潜热在控制方程中是如何体现？（温度回升法、折算比热法等）初始条件：初始条件是指物体开始传热时（即t=0时）的瞬时温度分布。（充填铸型后铸件冷却凝固开始时刻）边

3、界条件：边界条件是指计算区域的表面与周围介质间的热交换情况。常见的边界条件有以下三类第一类边界条件：给定物体表面温度随时间的变化关系第二类边界条件：给出通过物体表面的比热流随时间的变化关系（包括对称、绝热面）第三类边界条件：给出物体周围介质温度以及物体表面与周围介质的换热系数上述三类边界条件中，以第三类边界条件最为常见。温度场计算的解析法解析方法是直接应用现有的数学理论和定律去推导和演绎数学方程（或模型），得到用函数形式表示的解，也就是解析解。优点：是物理概念及逻辑推理清楚，解的函数表达式能够清楚地表达温度场的各种影响因素，有利于直观分析各参数变化对温度高低的影响。缺

4、点：通常需要采用多种简化假设，而这些假设往往并不适合实际情况，这就使解的精确程度受到不同程度的影响。目前，只有简单的一维温度场（“半无限大”平板、圆柱体、球体）才可能获得解析解。温度场计算的数值求解法（凝固数值模拟）数值方法又叫数值分析法，是通过对传热控制微分方程的简化、然后利用计算机编程，利用计算机求解简化后的代数模型。得到的近似解也称数值解。故又称为数值模拟或计算机模拟。常用数值化求解方法有：差分法：是把原来求解物体内随空间、时间连续分布的温度问题，转化为求在时间领域和空间领域内有限个离散点的温度值问题，再用这些离散点上的温度值去逼近连续的温度分布。差分法的解题

5、基础是用差商来代替微商，这样就将热传导微分方程转换为以节点温度为未知量的线性代数方程组，得到各节点的数值解。有限元法：是根据变分原理来求解热传导问题微分方程的一种数值计算方法。有限元法的解题步骤是先将连续求解域分割为有限个单元组成的离散化模型，再用变分原理将各单元内的热传导方程转化为等价的线性方程组，最后求解全域内的总体合成矩阵。铸件凝固温度场的解析解法例：半无限大平板铸件凝固过程的一维不稳定温度场若实际三维铸件或其局部可以近似地认为是沿着界面的法线方向一维热传导，这样就构成了半无限大平板铸件凝固过程的一维不稳定温度场的求解问题。为简化问题、有利解析法实现假设：（1）

6、凝固过程的初始状态为：铸件与铸型内部分别为均温，铸件的起始温度为浇铸温度T10，铸型的起始温度为环境温度或铸型预热温度T20；（2）铸件金属的凝固温度区间很小，可忽略不计；（3）不考虑凝固过程中结晶潜热的释放；（4）铸件的热物理参数λ1、c1、ρ1与铸型的热物理参数λ2、c2、ρ2不随温度变化；（5）铸件与铸型紧密接触，无界面热阻，即铸件与铸型在界面处等温（Ti）。显然，凝固过程中，铸件与铸型中的温度分布符合：该一维非稳态传热微分方程通解为：式中，C、D为不定积分常数，erf(x)为高斯误差函数，其计算式为：其值可通过查表求得。误差函数的性质为：x=0,erf(x)=

7、0,erf(-x)=-erf(x),erf(∞)=1,erf(-∞)=-1.对于铸件侧，有边界条件：x=0(t>0)时，T1=T2=Ti，初始条件：t=0时，T1=T10,所以得（铸件侧温度分布）：同理可得铸型侧温度场方程式为：对于公式中的界面温度Ti，可以通过在界面处热流的连续性条件求出，即：上式中，b1=λ1c1ρ1，为铸件的蓄热系数；b2=λ2c2ρ2，为铸型的蓄热系数。最后可得铸件、铸型内温度分布的解析解为：半无限大平板铸件凝固过程的一维不稳定温度场（温度分布）——其中忽略了可能很重要的界面热阻的影响！xTi铸件λ1c1ρ1铸型λ2c2ρ2