随机信号分析课件第6章

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1、随机过程第六章：正态随机过程第六章：正态随机过程6.1随机变量特征函数的回顾6.2多维正态随机变量的定义与协方差矩6.3n维正态随机变量的性质6.4正态随机过程的定义6.5正态随机过程的性质如果对一个随机过程任意选取n个时刻，则得到n个相应的随机变量,若此n个随机变量的联合分布是n维正态分布，则称随机过程X(t)是正态随机过程（高斯过程）。正态随机过程定义：随机变量的特征函数：随机变量的概率密度函数和特征函数之间存在一一对应关系，这个关系就是Fourier变换对，因此在得知随机变量的特征函数后，就可以知道它的概率密度函数。6.1随机变量

2、特征函数的回顾设为随机变量，称的数学期望为随机变量的特征函数。记为：已知特征函数，求概率密度函数(Fourier反变换)：（1）特征函数的定义连续型离散型解：解答：详细解答见教材P8例题1.2。例题6-1：结论：①具有②X的特征函数为，则Y=aX+b的特征函数为：证明：（2）特征函数的性质证明：（归纳法证明）当n=1时：③证明省略。④即：定义：若（3）多维随机变量的特征函数特征函数：多维随机变量的特征函数定义：同一维随机变量一样，多维随机变量的特征函数与概率密度函数是一对fourier变换对：特征函数：概率密度函数：若X1，X2统计独立

3、，则：推广到n个：证明：若独立，则多维随机变量的特征函数性质：边际特征函数：推广到n个：证明：已知证明：比较：一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示为：记为特征函数为:6.2多维正态随机变量的定义与协方差矩（1）一维正态随机变量若随机变量X1,X2的联合概率密度函数可以表示为：则称X1,X2为二维正态随机变量。其中ρ为X1和X2的相关系数。对于上述二维随机变量，其边际概率密度函数可表示为：因此其边际分布为一维正态分布：，（2）二维正态随机变量二维正态分布的协方差矩阵可表示为：二维正态分布的协方差矩阵具有如下性质：实对称矩阵；正定矩阵其

4、逆矩阵可表示为二维正态随机变量的联合概率密度也可表示为：其中二维正态随机变量的特征函数表示为：其中：二维正态随机变量的特征函数也表示为：若n维随机变量的联合密度函数为：则称为n维正态随机变量，其中C为n维实对称正定矩阵，也是协方差矩阵。记为：（3）n维正态随机变量若n维随机变量的特征函数为：若，则存在n阶正交矩阵A，使得向量中的分量Y1,Y2,…,Yn是独立的随机变量，且Yi为一维正态分布N～(0,di)。说明：6.3n维正态随机变量的性质的特征函数为证明：总存在正交矩阵A，通过变换此时随机向量的协方差矩阵，且由性质1可以知道：为n维独

5、立随机变量，且其中,则由特征函数线性变换的性质，对于：可以得到:证毕。n维正态分布中任意m维子向量亦为正态分布(m

6、4正态随机过程的定义如果对一个随机过程任意选取n个时刻，则得到n个相应的随机变量,若此n个随机变量的联合分布是n维正态分布，则称随机过程X(t)是正态随机过程（高斯过程）。正态随机过程定义：n维正态随机变量的联合密度函数为：则称为n维正态随机变量，其中C为n维实对称正定矩阵，也是协方差矩阵。记为：n维正态随机变量的特征函数为：6.5正态随机过程的性质若正态随机过程为宽平稳，则必为严平稳。二阶矩过程宽平稳特点X(t)的期望为常数，与时间无关X(t)的相关函数只是时间差t的函数若正态过程为宽平稳过程，则mX(t)=a为常数，RX(tk,ti

7、)=RX(tk-ti).任取n个抽样时刻t1,t2,…tn，这n个时刻所对应的随机变量的协方差矩阵为C，其任意一元素cki=RX(tk-ti)-a2=c(tk-ti)，则该n个正态变量对应的特征函数为：证明：若把n个时间抽样点作一个时间平移h，即取抽样时刻为t1+h,t2+h,…tn+h，则平移后的对应的n个正态分布的随机变量的特征函数为：如果对高斯过程X(t)在n个不同时刻采样，所得一组随机变量X1,X2,…Xn为两两互不相关，则这些随机变量也是相互独立的。平稳正态随机过程与确定信号之和的概率分布仍为正态随机过程。若正态随机过程X(t

8、)在T上是均方可微的，则其导数X’(t)也是正态过程。若正态随机过程X(t)在T上是均方可积的，则其下列积分也是正态过程。高斯过程通过线性系统，其输出亦为正态随机过程。若系统输入端的随机过程为非高斯过程，只