随机过程基本概念

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1、一随机过程的定义例.具有随机初始相位的简谐波其中Ａω为常数，φ服从[0,2π]上的均匀分布.1.每次观察结果是一个变化过程．某次观察时随机相位随机取某个观测值，则观察到的变化过程就是2.对固定的，是一个随机变量tX(t)样本曲线x1(t)样本曲线x2(t)t0状态X(t0)状态X(t0)随机过程定义设(Ω,F,P)为一概率空间,T为一参数集,TR,若对每一t∈T,均有定义在(Ω,F,P)上的一个随机变量X(ω,t),(ω∈Ω)与之对应,则称X(ω,t)为(Ω,F,P)上的一个随机过程(Stac-hasticProcesses,简记为:S.P.)记作{X(ω,t),ω∈Ω,t∈T},

2、可简记为{X(t),t∈T},或X(t).T称为参数集或参数空间,t称为参数,一般表示时间或空间.参数集通常有以下形式:⑴T={0,1,2,…}或T={…-2,-1,0,1,2,…}⑵T=[a,b],其中a可以为－∞,b可以为+∞.当参数集为形式⑴时,随机过程X(t)也称为随机序列对每一个固定的t,X(t)为一随机变量(r.v.).t∈T时.该随机变量所有可能取值的集合,称为随机过程的状态空间.记为S.S中的元素称为状态.对每一个确定的ω0∈Ω,X(ω0,t)是定义在T上的普通函数.记为x(ω0,t),称为为随机过程的一个样本函数.也称轨道或实现.样本函数的图形称为样本曲线．4.根据

3、参数集与状态空间离散与否,随机过程可分为●离散参数,离散状态的随机过程●离散参数,连续状态的随机过程●连续参数,离散状态的随机过程●连续参数,连续状态的随机过程参数集为离散的随机过程也称为随机序列，或时间序列．二　随机过程的有限维分布函数族设{X(t),t∈T}是S.P.1.一维分布函数对任意t∈T,X(t)为一随机变量.称其分布函数F(t;x)=P(X(t)≤x),x∈R为随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数.2.二维分布函数对任意固定的t1,t2∈T,X(t1),X(t2)为两个随机变量.称其联合分布函数F(t1,t2;x1,x2)=P(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2)

4、,x1,x2∈R为随机过程{X(t),t∈T}的二维分布函数.对任意固定的t1,t2,…,tn∈T,X(t1),X(t2),…,X(tn)为n个随机变量.称其联合分布函数F(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn)=P(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2…X(tn)≤xn)x1x2,…,xn∈R为随机过程{X(t),t∈T}的n维分布函数.3.n维分布函数称随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数,二维分布函数,…,n维分布函数,…,的全体为随机过程的有限维分布函数族.有限维分布函数族定义有限维分布函数族的性质对称性相容性设m

5、之确定。注2:前苏联数学家在1931年证明了：若给定一个参数集T上满足对称性和兼容性的有限维分布函数族，则存在一概率空间及定义在其上以T为参数集的随机过程，使得前述的有限维分布函数族即该随机过程的有限维分布函数族.说明随机过程的分布函数族可以完整描述随机过程的统计规律性。说明随机过程的分布函数族可以完整描述随机过程的统计规律性。