2011年高考三轮突破数学解答题专题 立体几何

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1、2009年高考三轮突破数学解答题专题攻略----立体几何一、08高考真题精典回顾：1、（08重庆卷）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.解法一：（Ⅰ）在答（19）图1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，从而AD⊥DE.在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBC

2、E，从而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.下求DB之长.在答（19）图1中，由，得又已知DE=3,从而因（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面角在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,因此从而在Rt△DFE中，DE=3,在因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，的方

3、向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），，E（0，3，0）.过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.设从而，有①又由②联立①、②，解得因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以因此所求二面角A-EC-B的大小为2、（08福建卷）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（Ⅰ）求证：PO⊥平

4、面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD,平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2A

5、B=2BC,有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,所以OB＝，在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，tan∠PBO＝所以异面直线PB与CD所成的角是.（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.设QD＝x，则，由（Ⅱ）得CD=OB=，在Rt△POC中，所以PC=CD=DP,由Vp-

6、DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时.解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由(Ⅱ)知设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则所以即，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设由，

7、得解y=-或y=(舍去)，此时，所以存在点Q满足题意，此时.3、（08辽宁卷）（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0

8、BCDEFPQHGNM（Ⅰ）证明：在正方体中，，，又由已知可得，，，所以，，所以平面．所以平面和平面互相垂直．4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值．8分（III）解：连结BC′交EQ于点M．因为，，所以平面和平面PQGH互相平行，因此与平面PQGH所成角与与平面所成角相等．与（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM与的比值就是所求的正弦值．设交PF