线性代数同济大学3-习题x

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1、1updownCH3矩阵的初等变换与线性方程组习题课一、基本内容二、典型例题2updown一、基本内容１、初等变换的定义换法变换对调矩阵的两行(列),记作rirj(cicj);倍法变换以数k0乘某一行(列)中的所有元素,记作rik(cik);消法变换把某一行(列)所有元素的k倍加到另一行(列)对应的元素上去,记作rikrj(cikcj).ri(ci)3updown初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．rirj(cicj)rik(cik)rikrj(cikcj)rirj(cicj)11kkri(k

2、)rj(ci(k)cj)4updown反身性对称性传递性A~A;若A~B,则B~A;若A~B,B~C,则A~C.２、矩阵的等价如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作A~B.5updown３、初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．三种初等变换对应着三种初等矩阵．6updown（１）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵E(i,j)．用m阶初等矩阵Em(i,j)左乘A(aij)mn,相当于对矩阵A施行第一种初等行变换:把A的第i行与第j行对调(rirj).类似地,用n阶初等矩阵En(i,j)右乘矩阵A,相当于对矩阵

3、A施行第一种初等列变换:把A的第i列与第j列对调(cicj).7updown（２）倍法变换：以数k（非零）乘某行（列），得初等矩阵E(i(k))．以Em(i(k))左乘矩阵A,相当于以数k乘A的第i行(rik);以En(i(k))右乘矩阵A,相当于以数k乘A的第i列(cik).8updown（３）消法变换：以数k乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵E(ij(k))．以Em(ij(k))左乘矩阵A,相当于把A的第j行乘以k加到第i行上(rikrj);以En(ij(k))右乘矩阵A,相当于把A的第i列乘以k加到第j列上(cjkci).11214

4、9updown一个非零元．例如011100001300000４、行阶梯形矩阵经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第10updown例如01041103001300001000５、行最简形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．c4c4c1

5、c2134330c5c1c2c11updown1000c300~0000000001000010000000104111030６、矩阵的标准形对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如12updown任何一个mn矩阵,总可以经过初等变换(行变换和列变换),化为标准形FOOmn此标准形由m,n,r三个数完全确定,其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形F是这个等价类中形状最简单的矩

6、阵．13updown７、矩阵的秩定义在mn矩阵A中,任取k行和k列,位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式.定义设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A).并规定零矩阵的秩等于0.14updown８、矩阵秩的性质及定理如果A中有一个非零的r阶子式,则R(A)r;如果A中所有r1阶子式都为零,则R(A)r;R(AT)R(A);定理若A~B,则R(A)R(B);行阶梯形矩阵的秩等于非零行

7、的行数．R(A)R(A),15updown矩阵的秩的性质若A为mn矩阵，则0R(A)min{m,n};R(kA)R(A)(k0);T若A~B，则R(A)R(B).若P、Q可逆，则R(PAQ)R(A);max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)R(B),特别地，当为列向量时，有R(A)R(A,b)R(A)1;即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不超过所有子块的秩之和.16updown若AmnBnlO,则R(A)R(B)n.R(AB)R(A)R(B);R(AB)min{R(A),R(B)};17up

8、down(